Polynomfunktion mit Substitution e^t... ?

Question

ich stehe vor einer Aufgabe und weiss nicht wie man mit folgender Substitution folgende Aufgabe löst:
$$\frac{{e}^{-t}((e^t - 9{e}^{-t} + 18{e}^{-3t}){e}^{3t} + 6{e}^{2t} ({e}^{2t} + 2{e}^{-2t} - 3)) }{{e}^{3t} - 3{e}^{t} + 2{e}^{-t}} = 6$$

Laut der Lösung sollte die Substitution $$x = {e}^{2t}$$ sein.

Wie kann ich denn hier die e's ersetzen die ein hoch -1 oder hoch 3t haben bei geraden exponenten wäre ja einfach $${x}^{2t}$$ für $${e}^{4t}$$ aber bei $${e}^{-t}$$  und $${e}^{3t}$$komme ich irgendwie nicht hin.

Hoffe das mir dabei jemand helfen kann.

VG :)

Answer 1

Erweitere den Bruch mit e^t.

Im Zähler hebt das den Faktor e^{-t} auf, im Nenner werden die Exponenten gerade.

Comments

Da ich laut der Aufgabe eine Substitution angeben muss, kommt das nicht in Frage.

Also einmal die Substitution muss angegeben werden und daraus die Lösung, sowie die Rücksubstitution. So wie du es erläutert hast bin auch drauf gekommen, jedoch ist das laut Aufgabenstellung nicht gefragt.

VG :)

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oder meinst du, ich muss erstmal mit 1 erweitern als mit e^t/e^t und dann kann ich x = e^{2t} substitutieren ?

VG :)

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Das war doch nur der eine Schritt, der dir jetzt das EINFACHE Anwenden der Substitution ermöglicht.

Du kannst natürlich auch sofort substituieren und musst dabei eben $$e^t$$ durch $$\sqrt{x}$$ ersetzen.

Aber was bringt das? Eine Zeile später wirst du die Gleichung mit

$$\sqrt{x}$$ erweitern und hast den gleichen Effekt wie vorher beim sofortigen Erweitern mit $$e^t$$ .

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kann ich denn nicht x = e^t substitutieren ?

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Ja. Das kannst du.

Das führt aber auf eine Gleichung mit Potenzen von x, deren Exponenten alle geradzahlig werden. Du wirst also im weiteren Verlauf dann noch eine weitere Substitution der Form x=z² vornehmen.

Da kannst du auch gleich die ursprünglich vorgeschlagene Substitution nutzen.