Äquivalenzrelationen modulo

Question

Kann mir jemand dabei bitte helfen.
Für n>1 betrachten wir die Äquivalenzrelation ≡n⊆ Z × Z mit
x ≡n y ⇔ n|(x − y)
Zeigen Sie, dass der Schnitt der beiden Äquivalenzrelationen ≡3 und ≡5 gleich ≡15 ist.
Hinweis: Wir setzten voraus, dass ≡15 eine Äquivalenzrelation ist. Dies muss nicht explizit gezeigt
werden

Answer 1

3n⊆ Z × Z mit x ≡n y ⇔ 3|(x − y)  also  ist

≡3 = { (x,y) ∈ Z × Z   |    n|(x − y) } und  ≡5 = { (x,y) ∈ Z × Z   |    5|(x − y) }

Sei also (x,y) ∈ ≡3 ∩ ≡5

==>      3|(x − y)  ∧    5|(x − y)

==> In der Primfaktorzerlegung von x-y kommt sowohl der

Faktor 3 als auch der Faktor 5 vor

==>     15| (x-y)

==>     (x,y) ∈ ≡ 15 .

Gilt umgekehrt    (x,y) ∈ ≡ 15

==>     15|(x − y)

==> In der Primfaktorzerlegung von x-y kommt sowohl der Faktor 3 als auch der Faktor 5 vor.

==>      3|(x − y)  ∧    5|(x − y)

==>    (x,y) ∈ ≡3 ∩ ≡5  .

Answer 2

Hallo

umschreiben: 3|x-y also x-y=3*z1 , z in Z das gleich für die anderen.

15|x-y also x-y=z3*15 =z3*3*5=z4*4 usw.

Gruß lul