Folgende Abbildung soll untersucht werden

Question

Ich bräuchte euere Hilfe um meine Hausaufgabe zu überprüfen bzw. bei einigen Teilaufgaben Ansätze.

Ich habe folgende funktion definiert:

$$\text{Sei }M:= \mathbb{R} \setminus (2) \text{  und sei} f:M\rightarrow \mathbb{R} \text{ durch} \\ f(x):=\frac{2x+5}{x-2} $$

Die aufgaben lauten:

a) Untersuchen Sie, ob die Abbildung f injektiv ist

b) Zeigen Sie, dass der Wertebereich f(M) von f die Menge M ist.

c) Berechnen Sie f kringel f(x) für alle x aus M

d) $$\text{Bestimmen Sie }f^{-1}(C), wobei C := (a \in  \mathbb{R} : a  \leq  1)$$

$$\\ \text{Ich versuche erstmal nach x umzuformen:} \\ y=\frac{2x+5}{x-2} |*(x-2) \\y(x-2)=2x+5 \\yx-2y-5=2x \\-2y-5=2x-yx \\-2y-5=x(2-y) \\ \frac{-2y-5}{2-y}=x$$

a) da pro x ein y existiert ist die Abbildung injektiv.

b) Soll ich zeigen, dass die Abbildung ohne dem Wertebereich nicht surjektiv wäre, d.h nicht in der Menge liegen würde?

c) Ist das Ergebnis etwa folgendes?

$$f \circ f(x)=f(f(x)) \\ = f(\frac{2x+5}{x-2}) \\ = \frac{2\frac{(2x+5)}{x-2}+5}{\frac{2x+5}{x-2}-2} \\ = \frac{\frac{4x+10}{x-2}+5}{\frac{2x+5}{x-2}-2} $$

d) Soll ich hier einfach die Inverse die ich berechnet angeben?

$$\frac{-2y-5}{2-y}=x$$

Oder muss ich komplett was anderes machen?

Answer 1

a) Untersuchen Sie, ob die Abbildung f injektiv ist

Prüfe ob \(\frac{2x_1+5}{x_1 - 2} \neq \frac{2x_2+5}{x_2 - 2}\) ist, falls \(x_1\neq x_2\) ist.

die Abbildung ohne dem Wertebereich

Abbildungen ohne Wertebereich gibt es nicht. Du sollst zeigen, dass \(f(M) = M\) ist.

c) Ist das Ergebnis etwa folgendes?

Ja. Ich würde aber noch weiter vereinfachen.

d) Soll ich hier einfach die Inverse die ich berechnet angeben?

Nein. Du musst angeben, was \(f(C)\) ist. Die Inverse hilft dabei, reicht aber nicht.