Kompositionen mit maximalem Definitionsbereich angeben. g: ℝ→ℝ, x↦x^2; h: [0,∞)→ℝ, x↦√x usw.

Question

Ich komme nicht darauf, wie man folgende Aufgabe lösen kann:

Gegeben seien die Abbildungen:

f: ℝ→ℝ,     x↦e^x

g: ℝ→ℝ,     x↦x²

h: [0,∞)→ℝ,     x↦√x

t: ℝ→ℝ     x↦x+a,  a∈ℝ, a≥0.

Geben Sie die folgenden Kompositionen samt maximalem Definitionsbereich explizit an:

f1 = f o g o t o h

f2 = h o t o g o f

f3 = g o f o h o t

f4 = h o g

Wäre dankbar um jegliche Hilfe

Answer 1

f1 = f o g o t o h

f₁(x)  =  f ( g (t ( h(x) ) ) )  =   f ( g ( t (√x ) ) )  =  f ( g ( √x + a ) )  =  f ( √x+a)² )  =  e^{√x+a}² 

Da h(x) den Definitionbereich [0;∞[ hat, muss dieser beim Einsetzen anderer Funktionen immer berücksichtigt werden:

D_f1 = [0;∞[ 

Gruß Wolfgang

Comments

Okay, ich versuche mal die anderen Aufgaben:

f2 = h o t o g o f

f₂(x) = h ( t ( g ( f ( x ) ) ) ) ) = h ( t ( g ( e^x ) ) ) ) =  h ( t ( e^2x ) ) ) = h ( e^2x + a ) = √(e^2x +a)

D_f2 = ]-∞;∞[

f3 = g o f o h o t

f₃(x) = g ( f ( h ( t ( x ) ) ) ) ) = g ( f ( h ( x+a ) ) ) ) = g ( f ( √(x+a) ) ) ) = g ( e^√x+a ) = ( e^√x+a)²

^D_f3 = ]-a;∞[

f4 = h o g

f₄(x) = h ( g ( x ) ) = h ( x² ) ) = √(x²)

Bei der vierten kriege ich den Definitionsbereich nicht raus.

Wäre nett, wenn du die Aufgaben kontrollieren und eventuell verbessern könntest.

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Weiß da nun jemand was? :(

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$$ f_4(x) = h\left(g(x)\right) = h\left(x^2\right) = \sqrt{x^2} = \left|x\right| , \quad D_{f_4} = \mathbb{R}. $$