Injektivität von Kompositionen

Question

Hallo zusammen, ich habe eine Frage bezüglich der Aufgabe a)

Ich verstehe den Unterschied zwischen x und x0 in der Lösung unten nicht, da ja für beide gilt, dass sie Element von X sind.

Ich wäre euch sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte.

Text erkannt:

Satz 1.2.11. Es seien \( X, Y \neq \emptyset \) und \( f: X \rightarrow Y \) eine Funktion.
a) Es gibt genau dann eine Funktion \( g: Y \rightarrow X \) mit \( g \circ f=\operatorname{id}_{X} \), wenn \( f \) injektiv ist.
b) Es gibt genau dann eine Funktion \( g: Y \rightarrow X \) mit \( f \circ g=\mathrm{id}_{Y} \), wenn \( f \) surjektiv ist.
Kapitel I: Mengen und Funktionen
Version vom 18.10.2021
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c) Es gibt genau dann eine Funktion \( g: Y \rightarrow X \) mit \( g \circ f=\operatorname{id}_{X} \) und \( f \circ g=\operatorname{id}_{Y} \), wenn \( f \) bijektiv ist. In diesem Fall ist diese Funktion \( g \) eindeutig und heißt die Umkehrfunktion von \( f \); Schreibweise: \( f^{-1} \) statt \( g \).
Beweis.
a),\( \Rightarrow \) Es sei \( g: Y \rightarrow X \) eine Funktion mit \( g \circ f=\operatorname{id}_{X} \) und \( w, x \in X \) mit \( f(x)=f(w) \). Dann ist \( w=g(f(w))=g(f(x))=x \), also ist \( f \) injektiv.
,\( \Leftarrow^{“} \) Es sei \( f: X \rightarrow Y \) injektiv, dann ist für jedes \( y \in Y \)
\( f^{-1}(\{y\})=\left\{\begin{array}{ll} \emptyset & \text { falls } y \notin f(X) \\ \{x\} & \text { falls } y=f(x) \in f(X) \end{array}\right. \)
Wir wählen nun \( x_{0} \in X \) und definieren damit
\( \begin{aligned} g: Y & \rightarrow X \\ y & \mapsto\left\{\begin{array}{ll} x & \text { falls } y=f(x) \in f(X) \\ x_{0} & \text { falls } y \notin f(X) \end{array}\right. \end{aligned} \)
Damit ist \( g \) auf ganz \( Y \) definiert und für alle \( x \in X \) gilt: \( (g \circ f)(x)=g(f(x))=x \).
b) \( „ \Rightarrow \) " Sei \( g: Y \rightarrow X \) eine Funktion mit \( f \circ g=\mathrm{id}_{Y} \), dann ist \( Y=f(g(Y)) \subseteq f(X) \) und

Answer 1

In der Beweisrückrichtung geht es darum, eine (Umkehr-)Funktion \(g\) so zu definieren, dass \(g\circ f = id_X\), wenn \(f\) injektiv ist.

Da \(f\) nicht notwendigerweise surjektiv ist, kann es Funktionswerte \(y=f(x)\) geben, zu denen es kein Urbild \(x\) gibt.

Dementsprechend sind zur Findung von \(g\) zwei Fälle zu betrachten:

- 1. Fall: Es gibt zu dem Element \(y\in Y\) ein Urbild \(x\in X\) unter \(f\), d.h. also es gilt \(y=f(x)\). In diesem Fall definierst du die Umkehrfunktion \(g\) mit \(g(y)=x\), denn dann weist sie dem Bild \(y\) bzgl. \(f\) erneut das Urbild \(x\) zu (bzw. kurz gesagt ist \(g(f(x))=x=id_X(x)\)).

- 2. Fall: Es gibt zu dem Element \(y\in Y\) kein Urbild unter \(f\). Da deine Abbildung \(g\) eine Funktion sein soll, muss sie total sein, also auch in diesem Fall \(y\) auf einen Wert abbilden.

Allerdings ist es hier egal, auf welchen Wert aus \(X\) du abbildest, schließlich spielt dieser Wert in der Komposition von \(f\) und \(g\) keine Rolle mehr (\(g\circ f\) weist jedem Funktionswert \(f(x)\) (vgl. Fall 1) den Funktionswert \(g(f(x))\) zu, der Fall 2 findet also in der Komposition nie Anwendung!).

Entsprechend wird irgendein beliebiger Wert \(x_0\in X\) gewählt und entsprechend \(g(y)=x_0\) gesetzt (es gilt entsprechend dann immernoch für alle \(x\in X\), dass \((g\circ f)(x)=g(f(x))=x=id_X(x)\)).

Zusammengefasst: Der Unterschied zwischen \(x\) und \(x_0\) liegt darin, dass es sich bei \(x\) in diesem Kontext um das existierende Urbild zu \(y=f(x)\) handelt, während \(x_0\) eine Art "Defaultwert" ist (der in der Komposition \(g\circ f\) keine Bedeutung hat), wenn es eben kein Urbild zu einem \(y\in Y\) unter \(f\) gibt.