Verhalten von Injektivität, Surjektivität ..

Question

Seien f : X→Y und g : Y →Z zwei Abbildungen und sei g ◦ f : X→Z die Komposition von f und g. Zeigen Sie:

(a) Sind f und g injektiv, so ist auch g ◦ f injektiv. 

(b) Sind f und g surjektiv, so ist auch g ◦ f surjektiv.

(c) Ist g ◦ f injektiv, so ist auch f injektiv. 

(d) Ist g ◦ f surjektiv, so ist auch g surjektiv. 

Answer 1

zu a) Sei g(f(a))=g(f(b)), dann ist
                 f(a)=f(b), da g injektiv. Dann ist aber
                    a=b,    da f injektiv.              q.e.d.
zu b)   Sei c aus Z. Dann gibt es wegen der Surjektivität von g
ein b aus Y mit g(b)=z.
Da f surjektiv ist, gibt es auch a aus X mit f(a)=b.
Dann ist aber g(f(a))=g(b)=c.
Somit gibt es zu jedem c aus Z ein a aus X mit g°f(a)=c.   q.e.d.
zu c)   Sei f(a)=f(b).
Da g eine Abbildung ist, ist dann auch g(f(a))=g(f(b)), denn g ordnet
den gleichen Werten f(a) und f(b) gleiche Funktionswerte zu.
Also  g°f(a) = g°f(b). Da g°f injektiv ist, folgt a=b.           q.e.d.
zu d) Sei c aus Z. Zu zeigen ist, dass es ein b aus Y gibt, mit g(b)=c.
Da g°f surjektiv ist, gibt es ein a aus X mit g°f(a)=c
Also g( f(a) ) = c. Also ist f(a) das gesuchte b.   q.e.d.