a)
In der Definition der Abbildung F wird dargestellt, auf welche Weise F ein Element ihrer Definitionsmenge R 2,2 auf die Bildmenge R 3 abgebildet wird:
[acbd]↦⎣⎢⎡2ba+c2b⎦⎥⎤
Soll nun etwa das Element
p=[−100−1]
des R 2,2 abgebildet werden, so muss man die Komponenten von p mit denen der in der Definition angegebenen allgmeinen Form
[acbd]
identifizieren. Man erhält:
a = - 1
b = 0
c = 0
d = - 1
Diese Werte werden nun in das allgemeine Bildelement
⎣⎢⎡2ba+c2b⎦⎥⎤
eingesetzt. Man erhält:
⎣⎢⎡2ba+c2b⎦⎥⎤=⎣⎢⎡2∗0−1+02∗0⎦⎥⎤=⎣⎢⎡0−10⎦⎥⎤
Also ist:
F(p)=F([−100−1])=⎣⎢⎡0−10⎦⎥⎤
b)
Ebenso macht man es bei der Abbildung G.
Die Identifikation der Komponenten von
q=⎣⎢⎡−202⎦⎥⎤
mit denen der in der Definition von G angegebenen allgemeinen Form
⎣⎢⎡abc⎦⎥⎤
ergibt:
a = -2
b = 0
c = 2
Diese Werte werden nun in das allgemeine Bildelement 2b−cx
eingesetzt. Man erhält:
2b−cx=2∗0−2x=−2x
Also ist:
G(q)=G⎝⎛⎣⎢⎡−202⎦⎥⎤⎠⎞=2∗0−2x=−2x
c)
Die Komposition von G o F = F ( G ( r ) ) ist nicht möglich, da die Defintionsmenge von G der Vektorraum R 3 ist, r jedoch Element des Vektorraums R2,2 ist.
G ( r ) ist also nicht definiert und somit ist auch die Komposition G o F nicht definiert.
Die Komposition F o G ist möglich. F o G ist eine Abbildung von R2,2 nach R≤1[x].
Das Bild von r unter der Komposition F o G ist Element des Vektorraums R≤1[x].
Es ist:
(F∘G)(r)=G(F(r))=G(F([−3001]))=G⎝⎛⎣⎢⎡2∗0−3+02∗0⎦⎥⎤⎠⎞=G⎝⎛⎣⎢⎡0−30⎦⎥⎤⎠⎞=2∗(−3)−0x=−6−0x
