Hi, bin gerade im Mathe Vorkurs komplett am verzweifeln. Ich habe absolut keine Ahnung, was ich hier machen soll und denke echt drüber nach, es mit dem Studium sein zu lassen.
Aufgabe 1:
Es seien \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \) Abbildungen zwischen Mengen und es sei \( g \circ f: \) \( X \rightarrow Z \) deren Komposition. Beweisen Sie:
(a) Ist \( h: Z \rightarrow W \) eine weitere Abbildung zwischen Mengen, so gilt \( (h \circ g) \circ f=h \circ(g \circ f) \), d.h. die Komposition von Abbildungen ist assoziativ.
(b) Sind \( f \) und \( g \) injektiv (surjektiv), so ist auch \( g \circ f \) injektiv (surjektiv).
(c) Ist \( g \circ f \) injektiv (surjektiv), so ist auch \( f \) injektiv ( \( g \) surjektiv).
(d) Finden Sie Beispiele für Abbildungen \( f \) und \( g \) wie oben, so dass \( g \circ f \) injektiv (surjektiv) ist, aber \( g \) nicht injektiv ( \( f \) nicht surjektiv) ist.
Aufgabe 2.
Beweisen Sie mithilfe von Aufgabe 1 die Aussage aus der Vorlesung, dass eine Abbildung \( f: X \rightarrow Y \) genau dann bijektiv ist, wenn es eine Abbildung \( g: Y \rightarrow X \) mit \( f \circ g=\operatorname{id}_{Y} \) und \( g \circ f=\mathrm{id}_{X} \) gibt.
