Abbildungen und deren Kompositionen beweisen

Question

Hi, bin gerade im Mathe Vorkurs komplett am verzweifeln. Ich habe absolut keine Ahnung, was ich hier machen soll und denke echt drüber nach, es mit dem Studium sein zu lassen.

Aufgabe 1:

Es seien \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \) Abbildungen zwischen Mengen und es sei \( g \circ f: \) \( X \rightarrow Z \) deren Komposition. Beweisen Sie:

(a) Ist \( h: Z \rightarrow W \) eine weitere Abbildung zwischen Mengen, so gilt \( (h \circ g) \circ f=h \circ(g \circ f) \), d.h. die Komposition von Abbildungen ist assoziativ.

(b) Sind \( f \) und \( g \) injektiv (surjektiv), so ist auch \( g \circ f \) injektiv (surjektiv).

(c) Ist \( g \circ f \) injektiv (surjektiv), so ist auch \( f \) injektiv ( \( g \) surjektiv).

(d) Finden Sie Beispiele für Abbildungen \( f \) und \( g \) wie oben, so dass \( g \circ f \) injektiv (surjektiv) ist, aber \( g \) nicht injektiv ( \( f \) nicht surjektiv) ist.

Aufgabe 2.

Beweisen Sie mithilfe von Aufgabe 1 die Aussage aus der Vorlesung, dass eine Abbildung \( f: X \rightarrow Y \) genau dann bijektiv ist, wenn es eine Abbildung \( g: Y \rightarrow X \) mit \( f \circ g=\operatorname{id}_{Y} \) und \( g \circ f=\mathrm{id}_{X} \) gibt.

Comments

Da muss jeder durch.
Aber sich die Lösung von anderer Seite liefern zu lassen ist dafür nicht der optimale Weg.

denke echt drüber nach, es mit dem Studium sein zu lassen.
Auch da bist du nicht der erste und viele haben sich so und viele anders entschieden und in jeder Gruppe gab es welche, die die richtige und welche, die die falsche Entscheidung getroffen haben.

Der Hauptzweck der Aufgabe besteht darin, hierzu Entscheidungshilfe zu leisten.

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Das obige kann ich nur Wort-für-Wort unterstützen. Es braucht im Studium eine gewisse Frustrationstoleranz (kann man lernen!). Wenn man kein Durchhaltevermögen entwickeln möchte, dann ist man aber nicht nur im Mathe-Studium, sondern in jedem MINT-Fach falsch.

Im Vorkurs hilft es sehr zu sehen, dass alle erstmal gleich dumm aus der Wäsche schauen. Und unter denen sind dann welche, die das Studium schnell aufgeben und genauso welche, die später Prof werden.

Es geht bei solchen Aufgaben nicht darum eine Lösung vorweisen zu können (Fehlannahme vieler Frager hier im Forum und auch so mancher Helfer), sondern sich selbst mit den Methoden und Begriffen auseinanderzusetzen.

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@nudger: mir ganz aus der Seele gesprochen !!!

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Also bei mir im Vorkurs sind viele die das schon alles draufhaben. Kommen 30 min zu spät und hauen dann eine Lösung nach der anderen raus während ich sitze und versuche meine Notizen zu verstehen.

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Es gibt immer Leute, die etwas schneller oder besser verstehen und genauso gibt es viele Leute (der Großteil) dir genauso viele Schwierigkeiten wie man selbst hat. Als ich Im vorkus zum ersten Mal einen Beweis gesehen habe, habe ich auch gedacht, wo bin ich hier gelandet. Der Schlüssel ist dran zu bleiben.

Zur Aufgabe: Mach dir klar, was gezeigt werden muss, Beispiel injektivität. Wenn dir klar ist, wie man injektivität definiert, dann zeigst du es für die Komposition indem du bereits weißt, dass beide Funktionen alleine schon injektiv sind. Also auch immer das Benutzen, was du als Voraussetzungen hast.