(Das ist die Überarbeitung des letzen Posts - Komposition und Abbildungen)
ich habe eine Übung gemacht und möchte gerne euch herzlich bitten meine Lösung + meinen Ansatz zu beurteilen ob es richtig ist oder falsch. Wenn es falsch ist, könnt ihr mir dann erklären warum? :)
Hier ist meine Aufgabe
Es seien die folgenden Mengen gegeben: A := {n ∈ Z ∣ 0 ≤ n ≤ 10} und C := {5,6,7,8}. Außerdem seien die folgenden Abbildungen gegeben:
i: A → Z, n ↦ n;
f: C → A, n ↦ n/2 falls n gerade ist und n ↦ (n−1) / 2 falls n ungerade ist;
g: Z → A, z ↦ r, wobei z = 11q + r mit q,r ∈ Z und 0 ≤ r < 11.
Bei den Fragen nach Anzahlen geben Sie entweder eine Zahl oder das Wort unendlich ein.
Mein Ansatz:
1) Wieviele Elemente hat das Bild von i ° g?
Meine Antwort: 11, da Funktion g eine ganze Zahl in zwei Teile zerlegt. Dies geht 11 mal mit Rest r.
2) Welche Kompositionen sind hier definiert?
(A) i∘f
(B) f∘i
(C) i∘g
(D) g∘i
(E) f∘g
(F) g∘f
Bei der Komposition muss es (glaube ich) so sein, dass der Definitionsbereich einer Abbildung identisch sein soll mit dem Wertebereich einer anderen Abbildung.
Meine Antwort: (A) (A -> A) wegen idA, (C) (A -> A) idA, (D) (ℤ -> ℤ) idℤ und (F) (C -> A) wegen f.
3) Sei h=g∘i∘f. Wieviele Elemente hat die Faser h−1({3})
h = g ° i ° f <=> g ° (i °f) <=> g ((i ° f) (x)) <=> g(i(f(x)))
Wegen Assoziativgesetz: C -> A
C:= 5, 6, 7, 8 ; A:= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
5 -> 2; 6 -> 3; 7 -> 3; 8 -> 4 (laut der Bedingung)
Somit: h−1({3}) = 2 Elemente
4) Wieviele nicht-leere Fasern hat f?
Meine Antwort: 3 , weil A 11 Elemente besitzt (A := {0, 1, ..., 10} und C nur die 2, 3 doppel und die 4 abgebildet hat. Somit sind die restlichen Elemente nicht abgebildet. Das bedeutet diese 8 nicht-abgebildete Elemente sind leere Faser. 2, 3 und 4 sind nicht leer.
5) Wieviele Elemente hat das Urbild von {3,4} unter f?
Meine Antwort: 3, weil 3 das Urbild von 6 und 7 ist und 4 das Urbild von 8.
So bin ich vorgegangen. Stimmen meine Ergebnisse? Wenn nein, bitte korrigiert mich.
