Komposition mehrdimensionaler Abbildungen - Einsetzungsschema?

Question

ich verstehe das folgende Einsetzungsschema nicht:

Gegeben ist:

f:  R²→R² mit f(x,y) = (2x, xy)

g: R² → R³ mit g(x,y) = (0,0,x²)

h: R³→ R² mit h(x,y,z) = (x+y, xz²)

 

Was ist (g o f) (x,y) also g(f(x,y)) ?

Einsetzungsschmea:

f(x,y)    =   (  2x  ,   xy  )

                      ↓       ↓

               g(   x  ,     y   )  =  (0,0,x²)

So dann folgt: ( g o f ) (x,y) = g(f(x,y)) = (0,0, (2x)²) = (0,0,4x²)

 

Und was ist ( h o g ) (x,y,z) also h(g(x,y))

Einsetzungsschema:

g(x,y)    =   (   0  ,   0  ,  x² )

                       ↓       ↓     ↓

                h(   x   ,  y   ,  z)  = (x+y,xz²)

So dann folgt: ( h o g ) (x,y) = h(g(x,y)) = (0+0, 0*(x²)²) = (0,0)

 

Boah ich kann das Muster einfach nicht erkennen...

Comments

Infos Allgemein. Liegt eine Komposition g o f zweier Abbildungen vor, so ist die Abbildungsvorschrift dieser Komposition dadurch definiert, dass der vektor x der Wert bzw. Vektor g(f(x)) zugeordnet wird. Das bedeutet, dass in der Abbildungsvorschrift von g die erste Variable durch die erste Komponentenfunktion von f, die zweite Variable durch die zweite Komponentenfunktion von f usw. ersetzt wird, um die Abbildungsvorschrift von g o f zu erhalten.

Answer 1

Gegeben ist:

f:  R²→R² mit f(x,y) = (2x, xy)

g: R² → R³ mit g(x,y) = (0,0,x²)

h: R³→ R² mit h(x,y,z) = (x+y, xz²)

 

Was ist (g o f) (x,y) also g(f(x,y)) ?

Einsetzungsschmea:

f(x,y)    =   (  2x  ,   xy  )

                      ↓       ↓

               g(  2x  ,     xy   )  =  (0,0,(2x)²)

So dann folgt: ( g o f ) (x,y) = g(f(x,y)) = (0,0, (2x)²) = (0,0,4x²)

Und was ist ( h o g ) (x,y,z) also h(g(x,y))

Gegeben ist:

f:  R²→R² mit f(x,y) = (2x, xy)

g: R² → R³ mit g(x,y) = (0,0,x²)

h: R³→ R² mit h(x,y,z) = (x+y, xz²)

Einsetzungsschema:

g(x,y)    =   (   0  ,   0  ,  x² )

                       ↓       ↓     ↓

                h(   x   ,  y   ,  z)  = (x+y,xz²)
                h( 0,0,x^2) = (0+0, 0*(x^2)^2) 

So dann folgt: ( h o g ) (x,y) = h(g(x,y)) = (0+0, 0*(x²)²) = (0,0)