Komposition von Abbildungen zeigen

Question

Zeigen Sie für zwei Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z:

(a) f, g injektiv ⇒ g ◦ f injektiv

(b) f, g surjektiv ⇒ g ◦ f surjektiv

(c) g ◦ f injektiv ⇒ f injektiv

(d) g ◦ f surjektiv ⇒ g surjektiv.

Folgern Sie außerdem für zwei Funktionen ϕ, ψ : X → X, die ϕ ◦ ψ = id = ψ ◦ ϕ erfüllen, dass ϕ und ψ bijektiv sind.

Comments

Kennst du die Bedeutungen der Begriffe "injektiv", "surjektiv" und "bijektiv"? Dies ist schon die zweite Frage zu dem Thema.

Answer 1

z.B. für a)

h injektiv heißt:   h(a) = h(b) ⇒ a = b

Also in deinem Fall:  Um zu zeigen, dass g o f injektiv ist,

machst du den Ansatz : Seien a und b aus X mit

( g o f ) (a)  =  ( g o f ) (b)

g(f(a)) = g( f(b) )   und weil g injektiv ist,

folgt daraus:

        f(a) = f(b) und weil f injektiv, folgt daraus

           a = b 

Also ist gezeigt :   g o f injektiv.