Lebesgue Maß, weitere Begriffe, Erklärung

Question

wir hatten in der Vorlesung das Lebesgue Maß, als auch andere Begriffe wie Lebesgue-messbar, Borel-messbar, etc.

Ich habe natürlich etwas gegoogelt, aber ich kann immer noch nichts mit den Begriffen, insbesondere mit dem "Lebesgue Maß", anfangen. Ich finde überall nur dieselben Definitionen, aber die bringen mich irgendwie nicht weiter.

Könnte mir jemand die Begriffe (verständlich) erklären ?

Answer 1

Hallo

 nicht wirklich anschaulich zu erklären, aber folgendes: jede Menge, die du dir vorstellen kannst hat als Lebesgue Maß ihr Volumen. Für alle "unvorstellbaren" Mengen wird das Lebesgue Maß so definiert, dass man leicht damit umgehen kann, das Lebesgue Maß von Vereinigungen , Schnitten Komplementen von Mengen die Lebesgue messbar sind, sind wieder messbar usw. diese möglichen Mengen, kannst du dir aber eben nicht "vorstellen"- vielleicht hilft dir: ein Strecke hat ein "Volumen"=Länge, wenn du endlich viele Punkte weglässt hat sie noch dieselbe Länge, wenn du aus dem Intervall [0,1] mit der Länge 1 alle rationalen Punkte (die ja albzählbar sind) weglässt hast du immer noch die Länge 1. alle rationalen Punkte zusammen deshalb das Lebesgue Maß 0.

 dasselbe kannst du mit der Fläche des Rechteck (0,1) x (1,0) machen und alle Strecken mit rationalen Zahlen auf den Seiten weglassen.

aber insgesamt werden einfach Argumente der Analysis einfacher, wenn man sie  auf Mengen mit Lebesgue Maß anwendet.

Gruß lul