Question

Sei f : X → Y eine beliebige Funktion, wobei X und Y beliebige Mengen sind. Seien
A;A'⊆ X und B;B'⊆ Y . Zeigen Sie:

(f-1 ist einfach f^-1)

(a) A ⊆f-1(B) ⇔ f(A)⊆ B
(b) A⊆ f-1(f(A)); f(f-1(B))⊆ B
(c) f-1(∩i∈I) = ∩i∈If-1(Bi) fur {Bi}i∈I⊆ Ρ(Y ).
(d) f-1(B\ B') = f-1(B) \ f-1(B').

2. Visualisieren Sie die Aussagen (a)-(d) aus Bsp. 1 mit Venn-Diagrammen (fur (c) betrachten
Sie nur zwei Teilmengen B1 und B2).



Es geht nicht um Umkehrfunktionen, sondern um Urbilder von Funktionen.

Answer 1

Du musst einfach nur die entsprechenden Definitionen verwenden.

z.B.  für die Richtung ⇒ von

A ⊆f-1(B) ⇔ f(A)⊆ B

 hast du  A ⊆f^-1(B) als Voraussetzung  und

musst   f(A)⊆ B  damit begründen.

Eine Teilmengenbeziehung begründet man üblicherweise so:

Sei y∈f(A) .  ==>  Es gibt ein x∈A mit  f(x)=y

Weil   A ⊆f^-1(B) ist dieses x auch in f^-1(B).

Also [Def. von f^-1(B) ] gibt es ein z∈B mit f(x)=z.

Es ist also y = f(x) = z und weil  z∈B also auch y∈B.

Damit hast du für ein beliebiges y∈f(A) hergeleitet,

dass y∈B gilt, also  f(A)⊆ B  bewiesen. Damit ist

A ⊆f^-1(B) ⇒ f(A)⊆ B .

Jetzt die andere Richtung zeigen. Dabei musst du nicht alle Argumente so

ausführlich notieren wie ich es machte, aber ich denke so

wird es klarer.