Welche der Relationen sind Funktionen R1 := {(x,y) E R| y = |x|} ... ?

Question

ich stehe vor einer Aufgabe und weiss nicht so ganz welche der Relationen, Funktionen sind.

$${R}_{1} := \{(x,y) \in \mathbb{{R}^{2}} | y = |x|\}$$
$${R}_{2} := \{(x,y) \in \mathbb{{R}^{2}} | x \le {y}^{2}\}$$

$${R}_{3} := \{(x,y) \in \mathbb{{R}^{2}} | x + y = 1\}$$
$${R}_{4} := \{(x,y) \in \mathbb{{R}^{2}} | (0 < x)  \wedge ({x}^{2} + {y}^{2} = 1) \}$$

Zudem soll ich die jeweiligen Quell- und Zielmengen dom und rng,
die Umkehrrelationen $${R}^{-1}$$,

die Quell- und Zielmenge, dom und rng von $${R}^{-1}$$

und welche der Umkehrrelationen $${R}^{-1}$$ Funktionen sind, angeben.

Hoffe das mir jemand bei den Problemen helfen kann.

VG :)

Answer 1

Mach doch mal ein paar Vorschläge, was du schon alleine hinbekommst. Etwa bei

R1:   Ist y durch x eindeutig bestimmt ?    Ja, zu jedem x gibt es genau eine reelle Zahl, die der Betrag von x ist.

Da R1 ⊆ ℝxℝ ist, sind und es zu jedem x aus ℝ den Betrag gibt, gilt dom = rng = ℝ

Die Umkehrrelation ist keine Funktion, da z.B.   3 und -3 den gleichen Betrag haben, x ist also durch

y nicht eindeutig bestimmt.  Hier ist dom=ℝ^≥0 , da Beträge immer ≥0 sind.  und rng=ℝ.

R3 ist auch ne Funktion, R2 nicht und R4 auch nicht. Betrachte (√0,5) ;±√0,5)  .

Comments

Rng von r1 müsste doch [0|unendlich) sein oder? Es ist doch die absolutbetragsfunktion.

VG :)

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Ist den Rng das gleiche wie Bild(f).

Ich hatte angenommen Rng = Zielmenge.

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Rng also range ist ja der Wertebereich. Da aber die absolutbetragsfunktion hier steht war das genau meine Frage. Wenn ich doch alles in x einsetzen kann, dann bekomme ich doch Werte für y raus die doch oberhalb der x achse sind, mit der 0 eingeschlossen. Deswegen müsste es doch so sein oder?

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Üblicherweise wird zwischen Wertemenge und Zielmenge unterschieden.

Die Wertemenge ist in der Tat [0|unendlich) .