Bestimmen Sie die Lösungsmengen IL ⊂ R von der Gleichung sin(2x) = cos(x)

Question

sin(2x) = cos(x)

Bestimmen Sie die Lösungsmengen IL ⊂ R.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie berechne ich die Lösungsmenge der Gleichung?

Stichworte: lösungsmenge,gleichung,logarithmus

sin(2x) = cos(x)

Bestimmen Sie die Lösungsmengen IL ⊂ R.

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Vom Duplikat:

Titel: Wie berechne ich die Lösungsmenge ?

Stichworte: lösungsmenge,gleichung,logarithmus

sin(2x) = cos(x)

Bestimmen Sie die Lösungsmengen IL ⊂ R.

Answer 1

Verwende die Doppelwinkelformel

sin(2x)=2 sin(x) cos(x).

Widerstehe aber der Verlockung, beide Seiten durch cos(x) zu teilen, weil du dadurch Lösungen verlieren würdest. Bringe alles auf eine Seite und klammere cos(x) aus.

Answer 2

sin(2x) ist eine Doppelwinkelfunktion und ist gleich 2sin(x)cos(x):

2sin(x)cos(x)=cos(x)   | -cos(x)

2sin(x)cos(x)-cos(x)=0  | Nullproduktsatz

cos(x)(2sin(x)-1)=0    | cos(x)=0 ---> x=π/2 + kπ

2sin(x)-1=0

sin(x)=1/2  → x=1/6π+2kπ ν x=5/6π+2kπ

Besimme nun die Vereinigung:$$x= \left\{ \begin{array} { l l } { \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}} & {  } \\ {\frac{\pi}{2}+k\pi } & {  } \end{array} \right.$$ Natürlich mit \(k∈ℤ\)!!!!