Ich empfehle dir Venn-Diagramme anzuschauen, sie helfen gut weiter:
Erstmal zur einer einfachen Definition:
1) Vereinigung:= Es werden 2 Menge zusammengetan, dabei befindet ein Element aus diesen Mengen entweder in A oder B dh. $$\lor$$
2) Schnitt:= Beide Mengen Fallen weg, übrig bleibt nur ein Element welches in beiden Mengen A und B vorhanden ist dh. $$\land$$
Bei (a) verwendest du zuerst die Definition von der Vereinigung und benutzt dann die Kommutativität
$$\\A\cup B \Longleftrightarrow (x|x \in A \lor x\in B)\ \Longrightarrow (x| x\in B \lor x \in A)\Longleftrightarrow B\cup A \blacksquare$$
Bei (b)verwendest du Definition von der Vereinigung und Schnitt und nutzt dann die Distributivität
$$A ∪ (B ∩ C) \Longleftrightarrow (x|x \in A \lor (B ∩ C))\Longleftrightarrow (x|x \in A \lor(x \in B \land x \in C))\Longrightarrow (x|(x \in A \land x \in B)\lor (x \in A \land x \in C)) \\\Longleftrightarrow (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) \blacksquare$$
Bei (c)verwendest du Definition von der Vereinigung und Schnitt und nutzt dann die Distributivität:
$$ \\ A ∩ (A ∪ B)\Longleftrightarrow (x| x \in A \land(A ∪ B))\Longleftrightarrow (x| x \in A \land(x \in A \lor x \in B)) \\ \Longrightarrow (x| (x\in A \lor x\in A) \land(x \in A \lor x \in B))\Longrightarrow (x| x\in A \land (x \in A \lor x \in B))\Longrightarrow (x| x\in A \land(x \in A )) \Longrightarrow x\in A \Longleftrightarrow A \blacksquare$$
Anmerkung zur C:
$$(x| (x\in A \lor x\in A) \land(x \in A \lor x \in B))\text{A oder A ist A}$$
$$ (x| x\in A \land (x \in A \lor x \in B))$$
x ist in A und (x in A oder x ist in B). x kann nicht in B sein, da schon feststeht, dass x in A vorhanden ist. Somit bleibt x ist in A und x ist in A= x ist in A=A
Allgemeine Anmerkung:
Ich habe lediglich die Gültigkeit der Aussagen in die Richtung ''--->''
Du musst noch gegebenfalls die Gültigkeit der Aussagen in die Richtung ''<----'' beweisen abhängig von deiner Aufgabenstellung
