Integralrechnung; Volumina

Question

Der Graph der Funktion f, die Tangente an den Graphen im Punkt P und die beiden Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche. Diese rotiert um die x-Achse bzw. um die y-Achse. Berechne die Volumina der entstehenden Drehkörper.

Ein ähnliches Beispiel habe ich mal hochgestellt, aber das sind andere Zahlen.

f(x)= \( \frac{1}{4} \)x² +3 , P=(6/f(6))

P= (6/12)

die Tangente habe ich ausgerechnet und diese ist: 3x-6

V= π* \( \int\limits_{0}^{6} \) (\( \frac{1}{4} \)x²+3)²

Binomische Formel: π* \( \int\limits_{0}^{6} \) (\( \frac{1}{16} \)x^4 +\( \frac{6}{4} \)x² +9)

(\( \frac{1}{16} \)*1296 + \( \frac{6}{4} \)*36 + 9)*π - (9)*π

π*(81+54+9)-(9*π)= ca. 115*π

Die Lösung wäre aber \( \frac{336}{5} \)*π

Könnte mir jemand behilflich sein?

Answer 1

Du hast  bei dem Integral vergessen eine Stammfunktion zu bestimmen.

Dann gibt es  pi*1296/5.

Dann musst du noch den Kegel mit dem Radius 12 und der Höhe 4 abziehen,

das wäre dann   pi*1296/5   - 192pi = 336/5 *pi

Comments

Also ich habe \( \int\limits_{0}^{6} \) π*(\( \frac{1}{16} \)*\( \frac{x^5}{5} \)+\( \frac{6}{4} \)*\( \frac{x³}{3} \)+9x)

=π*(\( \frac{x^5}{80} \)+\( \frac{6*x³}{12} \)+ 9x 

= π*(97.2+108+54) = π* 259.2

259.2*π ist bei Ihnen π*1296/5

Aber wie komme ich auf 192 * π?

Das Integral geht ja von 0 nach 6, heißt ich muss 6 von 0 abziehen, aber für 0 gibt es leider kein Ergebnis, nur ein π.

und woher weiß ich, dass der Kegel den Radius 12 und die Höhe 4 hat?

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Die rotierende Fläche wird doch durch die Achsen, die Tangente und den

Funktionsgraphen begrenzt:

~plot~ x^2/4+3;3x-6;[[-1|7|-4|13]] ~plot~

Also nimmt man zunächst mal die Fläche zwischen

Graph un d x-Achse im Bereich 0 bis 6.

Das hast du ja.

Das Dreieck mit den Ecken (2;0) , (6;0) , (6;12)

gehört aber ja nicht dazu. Wenn das rotiert, gibt es einen

Kegel mit  dem Radius 12 und der Höhe 4.  Diesen muss man

also vom vorher berechneten Volumen abziehen.