Rechnen die Basis der Untervektorräume u1 und u2

Question

Berechnen Sie die Basis für die folgenden Untervektorräume im ℝ⁴

u₃ : U₁ ∩ U₂

U₁ = span { v₁,v₂,v₃}

v₁ ( 1,-2,0,1)   v₂(-2,1,1,1)  v₃ (1,7,-3,-8)

U₂ = { (x₁,x₂,x₃,x₄) ∈ ℝ⁴ | x₁-x₃ = 0    x₂+x₃+x₄ = 0 }

Wie bringe ich diese UVR zusammen ?:)

Answer 1

Basis für U1 findest du dort

https://www.mathelounge.de/582595/bestimmen-sie-fur-die-untervektorraum-des-r-4-eine-basis

Elemente von U2 kannst du so beschreiben:

x1 = x3    und  x2 = -x3 - x4 also sehen die so aus

                         x3                      1                        0
                      -x3 - x4                 -1                     -1
                         x3              =      1    *x3      +      0      *  x4 
                         x4                      1                        1

Damit ist eine Basis von U2    (1;-1;1;1)^T , (0;-1;0,1=^T

Und der Durchschnitt von U1 und U2 enthält die

Elemente von U1, die die Gleichungen in der Def. von

U2 erfüllen, also solche

a-2b=b  und  a-2b+-2a+b+b=0

a-3b = 0  und   -a = 0

==>  a= und b=0

Also besteht der Durchschnitt der beiden Unterräume nur aus dem

Nullvektor.   Das macht auch Sinn; denn die Summe der Räume

ist der ganze R^4 .