Abelsche Gruppe? Beweisen

Question

Sei X eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen mit P(X) die Menge aller Teil-
mengen von X. Fur Teilmengen A, B ⊆ X definieren wir mittels
A4B = (A \ B) ∪ (B \ A)
die symmetrische Differenz von A und B. Zeigen Sie, dass das Paar (P(X), 4)
eine Abelsche Gruppe bildet und dass fur jedes Element A ∈ P(X), die
Gleichung A4A = e gilt (wobei e das neutrale Element ist).

Comments

Zeige, dass es eine Gruppe ist, (die Operation  "4" zwischen zwei Teilmengen von X erzeugt wieder eine Teilmenge von X, ein neutrales Element existiert (dankenswerterweise wurde schon vorgegeben, wie man es findet), jedes Element hat ein Inverses (ist dankenswerterweise auch schon geklärt ...usw.)

und zeige, dass die Operation "4" kommutativ ist.

Zum Schluss:

"dass fur jedes Element A ∈ P(X), die Gleichung A4A = e gilt (wobei e das neutrale Element ist)."

ist geklärt, wenn du schon erklären konntest, dass jedes Element A zu sich selbst invers ist.

Answer 1

Abgeschlossenheit:  Das Ergebnis von A4B ist wieder eine Teilmenge von X.

Assoziativ: zeige  (A4B)4C   =  A4(B4C) durch nachrechnen:

(A4B)4C

=  ((A \ B) ∪ (B \ A)) 4 C

=  (((A \ B) ∪ (B \ A))  \ C)   ∪  (  C \   ((A \ B) ∪ (B \ A)) )

= ( (A\B)\C   ∪ (B \ A)  \ C )    ∪  (  C \(A \ B) ∪   C \ (B \ A)) )

und zeige, dass sich bei   A4(B4C)  auch wieder die

Vereinigung dieser 4 Mengen ergibt, dann ist Assoziativität

nachgewiesen.

neutrales Element ist wohl die leere Menge, da

A4∅= (A\∅)∪(∅\A) =  A ∪ ∅ = A   und

entsprechend ∅4A = A ist.

inverses Element zu A ist A selber; denn

A4A = (A\A) ∪ (A\A) = ∅.

abelsch ist die Gruppe, weil A4B = B4A für alle A,B gilt

und die Gleichung für das Inverse steht ja schon da.