Zeige Sie, dass die rekursiv definierte Folge an+1 = an^2+ 1/4 für n ∈ N konvergiert, wenn 0 ≤ a1 ≤ 1/2

Question

Hi zusammen,

ich sitze an dieser Übungsaufgabe schon ein wenig und komme nicht auf die Lösung und finde auch keinen passenden Ansatz.

Könnt ihr mir vielleicht hier weiter helfen?

Answer 1

wenn ein positives a_n kleiner oder gleich 1/2 ist, dann ist (a_n)² kleiner oder gleich 1/4,

und (a_n)² + 1/4 ist wiederum kleiner oder gleich 2/4.

Mit anderen Worten: ein Folgenglied zwischen und 1/2 (so wie a₁) führt zwangsläufig auf ein nachfolgendes Glied ebenfalls in diesem Bereich.

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Soweit habe ich das auch verstanden, nun kommt bei mir die Frage wie ich genau diese Aussage als mathematischen Beweis darstellen kann.

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Das ist der Induktionsschritt.