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man soll den Grenzwert  der rekursiv definierten Folge bestimmen.

a1 := 2 und an+1 := 1/2 *(an + (25/ an) ) für n>= 1

jetzt habe ich mal die ersten Folgeglieder berechnet, um eine Vorstellung von der Folge zu erhalten. 

an =(2, (29/ 4) , (1241/ 232) , 5,0113, ...)

die Folge steigt also zuerst und fällt dann wieder? oder wo liegt der Fehler?

Avatar von
Die Folge ist in der Tat für \(n\ge2\) monoton fallend und konvergiert gegen \(5\).

danke!

wie hast du das so schnell berechnet?

Das ist ein Klassiker, der hier bereits mehrfach Thema war.

ach so ok.

Man beweist die Konvergenz bei rekursiven Folgen ja mit der vollständigen Induktion. Zuvor muss man eine Annahme treffen gegen was an konvergiert. Aber in diesem Fall erkenne ich nicht, dass die Folge durch 5 beschränkt ist. Wie soll ich dann vorgehen?

Hier https://www.mathelounge.de/111474/zeigen-wie-eine-folge-konvergiert-x_n-1-1-2-x_n-c-x_n gibt es eine Lösung für ein etwas allgemeiner verfasstes Problem.  

1 Antwort

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Beste Antwort

an+1 := 1/2 *(an + (25/ an) )

Wenn es einen Grenzwert a gibt, muss gelten

a = 1/2 *(a + (25/ a) )

Löse diese Gleichung nach a auf.

Danach noch schauen, welches a überhaupt in Frage kommt. 

Avatar von 162 k 🚀

vielen Dank! Wenn ich die Gleichung nach auflöse, komme ich auf 5. 

Aber ganz verstehe ich nicht, warum man den Grenzwert so bestimmt. Man ersetzt an einfach durch a? Gibt es dafür einen Satz? 

Bei Konvergenz, muss die Folge (an+1 - an ) eine Nullfolge sein. 

(Eine Nullfolge garantiert noch keine Konvergenz (deshalb ist der Anfang im Kommentar zur Frage schon zwingend. ) 

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