Bilinearformen verstehen .

Question

Es geht darum , die Definition von Bilinearformen zu verstehen.

Eine Bilinearform A : V x V -> K auf einem K-VR ist eine Multilinearform 2 auf V .

Ein Beispiel dafür wäre V = K^n ,

A(v,w) = ∑ aij xi yj

i,j

Außerdem die Bilinearform auf K-VR mit Basis (a1,...,an) . A hat dann die Strukturmatrix A^A (a1,...,an)  := (A(ai,aj)) 1 <= i,j<= n

Könnte jemand ein Beispiel mit konkreten Werten oder eine gute Erklärung liefern ?

Answer 1

Eine Bilinearform ist in beiden Argumenten linear. Ein sicherlich bereits bekanntes Beispiel ist das kanonische Skalarprodukt \((x,y)\) zweier Vektoren \(x\), \(y\). Dafuer gilt $$(\alpha x+\beta y,z)=\alpha(x,z)+\beta(y,z)$$ und $$(x,\alpha y+\beta z)=\alpha(x,y)+\beta(x,z).$$