Aufgabe:
(1) Sei \( \phi: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) eine symmetrische Bilinearform \( (n \geq 1) \). Zeigen Sie, dass es eine Basis \( \mathcal{B} \) von \( \mathbb{R}^{n} \) gibt, so dass
\( M_{\mathcal{B}}(\phi)=\operatorname{diag}(\underbrace{1, \ldots, 1}_{r \text {-mal }}, \underbrace{-1, \ldots,-1}_{s \text {-mal }}, \underbrace{0, \ldots, 0}_{t \text {-mal }}), \)
wobei \( r, s, t \geq 0 \) mit \( r+s+t=n \) und \( \operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots a_{n}\right) \) bezeichnet die \( n \times n \)-Matrix, die \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) auf der Diagonalen hat (in dieser Reihenfolge) und sonst nur 0 'en als Einträge.
(Hinweis: Sei \( \mathcal{B}^{\prime}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) eine Basis, so dass \( M_{\mathcal{B}^{\prime}}(\phi) \) Diagonalgestalt hat. Mach Sie den Ansatz \( \mathcal{B}=\left\{\lambda_{1} v_{1}, \ldots, \lambda_{n} v_{n}\right\} \), für geeignet gewählte \( \lambda_{i} \in \mathbb{R} \).)
(2) Gegeben sei die Abbildung \( q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( q\left(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)\right)=\sum \limits_{1 \leq i \leq j \leq n} b_{i, j} x_{i} x_{j} \)
für gewisse \( b_{i, j} \in \mathbb{R} \). Schließen Sie aus (1), dass es \( r, s \geq 0 \) und \( S \in G L_{n}(\mathbb{R}) \) gibt, so dass \( q(x)=q_{r, s}(S x) \), wobei
\( q_{r, s}\left(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)\right)=\sum \limits_{i=1}^{r} x_{i}^{2}-\sum \limits_{i=r+1}^{s+r} x_{i}^{2} \)
Problem/Ansatz:
Die Art des Beweises fällt mir voll schwer, da wir sowas in der Vorlesung noch nicht hatten.
Ein kleiner Ansatz wäre ziemlich nett :)
