Aufgabe:
Welche der folgenden Abbildungen \( \varphi_{i}: K^{2} \times K^{2} \rightarrow K \) sind Bilinearformen? Geben Sie bei denjenigen Abbildungen, welche Bilinearformen sind, die Matrix bzgl. der Standardbasis an und entschieden Sie jeweils, ob diese symmetrisch ist.
(i) \( \varphi_{1}\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{1}+x_{1} y_{2} \)
(ii) \( \varphi_{2}\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+1 \)
(iii) \( \varphi_{3}\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2} \)
(iv) \( \varphi_{4}\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=x_{1}^{2}-x_{1} y_{2}+y_{2}^{2} \)
\( (\mathrm{v}) \varphi_{5}\left(\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=\left(x_{1}-y_{1}\right)\left(x_{2}-y_{2}\right) \)
Problem/Ansatz:
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, wäre nett wenn jemand mir anhand eines Beispiels, vormachen würde wie die Matrix ermittelt wird.
Vielen Dank im Voraus!
