Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Question

Aufgabe:

Ein Ackerbau wird mit x₁ Einheiten Naturdünger und mit x₂ Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:

E = f(x₁,x₂) = 910 + 7x₁ - 4x₁^2 + 3x₂ + 2x₂^2 + 9x₁x₂

Der Düngemitteleinsatz von derzeit 5 Einheiten Naturdünger und 5 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 2.5% mehr Naturdünger und 3.9% weniger Kunstdünger eingesetzt werden.

Problem/Ansatz:

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.
b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

Answer 1

Hallo

für die exakte Veränderung 1. Die Anfangswerte in f(x1,x2) einsetzen, dann die Werte x1*1,025 und x2*0,961 einsetzen, davon die Differenz.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir die Ertragsfunktion$$E=f(x;y)=910+7x-4x^2+3y+2y^2+9xy$$und die Informationen über die aktuellen und zukünftigen Parameter:$$(x_0;y_0)=(5;5)\quad;\quad(x_1;y_1)=(5,125\,;4,805)\quad;\quad(\Delta x,\Delta y)=(0,125\;;-0,195)$$

Approximation mit dem totalen Differential

Das totale Differential der Funktion lautet$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=(7-8x+9y)dx+(3+4y+9x)dy$$Wir setzen \(x_0=5\), \(y_0=5\), \(dx=0,125\) und \(dy=-0,195\) ein und finden:$$\Delta E\approx(7-8\cdot5+9\cdot5)\cdot0,125+(3+4\cdot5+9\cdot5)\cdot(-0,195)=\boxed{-11,76}$$

Genaue Rechnung:

$$\Delta E=f(5,125\,;4,805)-f(5;5)=1123,03-1135=\boxed{-11,97}$$