Bilinearformen auf Mn,n(K)

Question

ich weiß nicht wie es dieses zeigen sollte:

K ein Körper,   V = M_n,n (K),   f ∈ V*

℘_f :  V x V  → K ,    (A,B) ↦ f( AB^t )

Zu zeigen  : ℘_f ist eine Bilinearform

Answer 1

Musst einfach die Eigenschaften einer Bilinearform prüfen.
z.B.    ℘_f (X+Y,B) =  ℘_f (X,B) + ℘_f (Y,B)
also nachrechnen:
℘_f (X+Y,B) = f( (X+Y)B^t )= f(XB^t  + YB^t )   wegen der Rechenregeln (distributiv) für Matrizen
=  f(XB^t ) + f( YB^t )    weil f aus V* also eine Linearform ist
=  ℘_f (X,B) + ℘_f (Y,B)

etc. für die anderen Eigenschaften.