Rekursiv definierte Folge: a1 := 2 und an+1 := 1/2 *(an + (25/ an) ) für n>= 1. Grenzwert?

Question

man soll den Grenzwert  der rekursiv definierten Folge bestimmen.

a₁ := 2 und a_n+1 := 1/2 *(a_n + (25/ a_n) ) für n>= 1

jetzt habe ich mal die ersten Folgeglieder berechnet, um eine Vorstellung von der Folge zu erhalten.

a_n =(2, (29/ 4) , (1241/ 232) , 5,0113, ...)

die Folge steigt also zuerst und fällt dann wieder? oder wo liegt der Fehler?

Comments

Die Folge ist in der Tat für \(n\ge2\) monoton fallend und konvergiert gegen \(5\).

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danke!

wie hast du das so schnell berechnet?

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Das ist ein Klassiker, der hier bereits mehrfach Thema war.

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ach so ok.

Man beweist die Konvergenz bei rekursiven Folgen ja mit der vollständigen Induktion. Zuvor muss man eine Annahme treffen gegen was a_n konvergiert. Aber in diesem Fall erkenne ich nicht, dass die Folge durch 5 beschränkt ist. Wie soll ich dann vorgehen?

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Hier https://www.mathelounge.de/111474/zeigen-wie-eine-folge-konvergiert-x_n-1-1-2-x_n-c-x_n gibt es eine Lösung für ein etwas allgemeiner verfasstes Problem.  

Answer 1

a_n+1 := 1/2 *(a_n + (25/ a_n) )

Wenn es einen Grenzwert a gibt, muss gelten

a = 1/2 *(a + (25/ a) )

Löse diese Gleichung nach a auf.

Danach noch schauen, welches a überhaupt in Frage kommt.

Comments

vielen Dank! Wenn ich die Gleichung nach auflöse, komme ich auf 5.

Aber ganz verstehe ich nicht, warum man den Grenzwert so bestimmt. Man ersetzt a_n einfach durch a? Gibt es dafür einen Satz?

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Bei Konvergenz, muss die Folge (an+1 - an ) eine Nullfolge sein.

(Eine Nullfolge garantiert noch keine Konvergenz (deshalb ist der Anfang im Kommentar zur Frage schon zwingend. )