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ich soll a1:=25 ; 3an+1:=2an+10 auf konvergenz untersuchen.. hab schon hunderte Lösungen von ähnlichen aufgaben angeguckt, aber irgendwie versteh ichs einfach nicht.

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Ich verwende mal für an+1 = y und an = x

3·y = 2·x + 10

Wir lösen das Ganze mal nach y auf

y = 2/3·x + 10/3

Wenn wir jetzt 25 einsetzen kommt 20 heraus. Also weniger. Wir können ja mal ermitteln was wir einsetzen können damit der Wert kleiner wird als das was wir eingesetzt haben

x > 2/3·x + 10/3
1/3·x > 10/3
x > 10 

Solange ich etwas größer als 10 einsetze, kommt weniger heraus. Wenn ich 10 einsetze, kommt auch genau 10 heraus. Daraus schließe ich das 10 ein Grenzwert ist.

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schonmal danke=), aber muss man nicht noch zusätzlich beweisen, dass die Folge überhaupt kovergent ist, oder reicht das Abschätzen des Grenzwertes aus...?
Du kannst ja zeigen das wenn du 10 + h einsetzt

2/3·(10 + h) + 10/3 = 10 + 2/3·h

Dann kommt also immer noch etwas über 10 heraus. Der Abstand verringert sich aber auf 2/3. Damit ist letztendlich auch die Konvergenz gezeigt. Das mussten wir damals aber glaube ich nicht machen.
hab mich nur gewundert weil die Aufgabe recht viele Punkte gibt für so eine "kurze" Lösung, aber wenn das reicht ist das super=)

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