rekursiv definierte Folge: Zeige Konvergenz und Grenzwert.

Question

Aufgabe:

rekursiv definierte Folge: Zeige Konvergenz und Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Die rekursiv definierte Folge an ist mit a1=1 und an+1 = wurzel (1+an) gegeben. Leider kann ich nicht nach a auflösen und somit nicht den Grenzwert bestimmen.

Ich freue mich über jede Hilfe.

Vielen Dank schon mal!

Comments

Leider kann ich nicht nach a auflösen und somit nicht den Grenzwert bestimmen.

Wieso kannst du \(a=\sqrt{1+a}\) nicht nach \(a\) auflösen?

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weiß nicht wie man das rechnet

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Siehe die Antwort von mathef.
Was macht man denn, wenn man eine Quadratwurzel
loswerden will? Quadrieren ist eine gute Option.

Answer 1

Wenn Konvergenz schon klar ist, musst du nur rechnen:

\(a=\sqrt{1+a}\)   quadrieren

a^2 =  1+a

a^2 - a -1 = 0

pq-Formel gibt

a =(1 ±√5 ) / 2  aber negative Lösung entfällt.

Comments

Danke, weißt du auch wie man trotzdem noch die Konvergenz von der Folge beweist?

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Vielleicht mit monoton und beschränkt.

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Hat die Folge überhaupt einen Grenzwert, die ist ja nach unten beschränkt, nähert sich aber keinen Grenzwert nach oben an?

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Ich meine, dass sie monoton steigend und nach oben beschränkt

ist, also hat sie einen Grenzwert, nämlich (s.o.) (1 +√5 ) / 2