Wurzelergebnisse als Menge darstellen?

Question

Nabend,

Also, wir haben folgende Wurzeln

a) \( \sqrt[3]{-8} \)  und b) \( \sqrt[4]{-x} \).

Die Lösung von a) ist -2 und die von b) (-x)^{1/4} und x^{1/4}

Wie solle ich diese Ergebnisse als Menge schreiben der jeweiligen Aufgaben mathematisch hinschreiben, ohne dass es blöd aussieht, zumal a) nur eine Lösung hat.

Die Menge an Lösungen aus a) = {-2} und aus b = {-x^{1/4}, x^{1/4}}.  Das ist doch sicherlich nicht auf Studium-Niveau, zumal die Aufgaben auch sehr leicht waren. Wie kann man die Lösung mathematisch angemessen als Menge fassen?

Comments

"Die Lösung von a) ist -2 und die von b) (-x)^{1/4} und x^{1/4}"

Wo hast du den Unsinn her?

Über a) könnte man ja eventuell noch reden, wenn du dich auf eine im angelsächsischen Raum verbreitete Wurzeldefinition berufst.

Außerdem zur Klarstellung: Wir reden hier nur über reelle Zahlen?

Aber nochmal konkret: Wo steht die Wurzeldefinition, auf die du dich berufst?

Und: HAST du überhaupt diese Wurzeln in Form einer so formulierten Originalaufgabe, oder hast du einfach Gleichungen aus Aufgaben mit Potenzen eigenmächtig in eine Wurzelschreibweise gebracht?

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Jedes Wort von Gast62 berührt den Knackpunkt (nicht nur dieser Aufgabenstellung).

Answer 1

Besser Lösungsmenge von

z^3 = -8 --> z = 1 - √3·i ∨ z = 1 + √3·i ∨ z = -2

Schaffst du dann die andere alleine

z^4 = -x

Comments

Nein, leider nicht. Ich weiß, dass Sie die komplexen Zahlen nutzen, aber wie man auf so eine Abbildung und solche Lösungen kommt (bis auf -2), verstehe ich nicht.

Komplexe Zahlen wurde noch nicht behandelt und dennoch gehört sie zur Aufgabe und das x muss mit i getauscht werden also:

Z^4 = -1

Wie gehe ich jetzt vor? Eine Erklärung wäre sehr nett. Entschuldigen Sie die verspätete Nachricht

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z^4 = -1 --> z = - √2/2 - √2/2·i ∨ z = - √2/2 + √2/2·i ∨ z = √2/2 - √2/2·i ∨ z = √2/2 + √2/2·i

Das einfachste ist es sich grafisch zu überlegen.

Dazu müsste man allerdings wissen wie die Multiplikation komplexer Zahlen grafisch aussieht. Das dort die Beträge multipliziert und die Winkel addiert werden.

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Hab mir da einige "roots of unity" Videos angeschaut, müsste das mal einsacken lassen und richtig verstehen, dann sollte es kein Problem mehr sein. Also was ich schonmal erkenne, ist, dass die nte Wurzel n Lösungen hat.

Hier: bei a) {1-√(3*i), 1+√(3*i), -2} und b) { - √2/2 - (√2/(2·i)), - √2/2 + (√2/(2·i),  √2/2 - (√2/(2·i)),  √2/2 + (√2/(2·i)) }

So wäre das richtig (wenn die Klammern bei der Division mit i richtig gesetzt wurden), oder?

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Meine Klammerung oder nicht Klammerung ist schon richtig. Das i sollte nie im Nenner stehen. Eine komplexe Zahl z hat die Form

z = a + b·i

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Ich habe mir jetzt einiges über die Komplexen zahlen durchgelesen, wenn es nicht mehr -1 wäre, sondern \( \sqrt[4]{-i} \), wie ginge man da vor? Könnte man theoretisch den Ausdruck vereinfachen, da wir eine Wurzel in der Wurzel stehen haben? i^2 = -1, so müsste i=√-1 -> \( \sqrt[4]{√(-1)} \) nach dem Wurzelgesetz könnte man doch theoretisch \( \sqrt[4*2]{-1} \) = \( \sqrt[8]{-1} \) schreiben, oder?

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Zunächst stellst du -i grafisch dar

Jetzt Nimmst du aus dem Betrag die 4. Wurzel und teilst den Winkel durch 4.

Weil es jetzt um 4 Lösungen geht trägst du die anderen jeweils um 90 Grad versetzt ein.

Und achte darauf. Es ist nicht die 4. Wurzel aus -i sondern eben z^4 = -i. Das ist ein ganz erheblicher Unterschied.

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Da hast du recht. Sonst stünde da etwas hoch 8, was acht Lösungen implizieren würde.. Danke für die Anleitung für solche Aufgaben!

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Letzte Frage im Falle, dass b=0 ist, was tut man da? Ich habe keinen solchen Fall gesehen. Geht man dann einfach davon aus das b=1 ist? Sonst hätten wir ja gar kein i stehen

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z^3 = -8 konnte ich jetzt ganz nachvollziehen und auch nachrechnen. Leider nicht für z^4 = -i. -i hast du bei (0, -1) markiert. Die 4. Wurzel wäre dann immer noch -1. Dann bei einer Phasenverschiebung müssten die punkte immer auf der Achse liegen, was bei den obigen Abbildungen nicht der Fall ist. Ich komme einfach nicht darauf, warum? Wie hast du den Betrag berechnet?

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-i hat die Koordinate (0 | -1). Das ist richtig.

Der Winkel beträgt also 270 Grad und der Betrag 1.

Die 4. Wurzel aus dem Betrag ist weiterhin 1.

270 Grad durch 4 sind 67.5 Grad. Dort kann man also das erste z eintragen.

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Ein "Aha-Moment", langsam verstehe ich es, vielen lieben Dank!