vollständige Induktion für m3 - m ist durch 3 teilbar

Question

Ich soll beweisen mit Hilfe der vollständigen Induktion das für jede Zahl m∈ℕ₀  gilt:

m³ - m ist durch 3 teilbar

Lösungsvorschläge ?:)

Answer 1

Induktionsanfang: n = 0

n^3 - n = 0^3 - 0 = 0 ist durch 3 teilbar

Induktionsschritt: n --> n + 1

(n + 1)^3 - (n + 1) = (n^3 - n) + 3·(n^2 + n) ist durch 3 teilbar

Answer 2

Warum denn mit vollständiger Induktion?

m³ - m =m·(m²-1)=(m-1)·m·(m+1)

Drei aufeinanderfolgende Zahlen enthalten immer eine durch 3 teilbare.

Comments

Ich muss es mit der vollständigen Induktion machen

Answer 3

Ja.

Multipliziere die erste Klammer im Term (m+1)³ -(m+1) aus:

Du erhältst den Gesamtterm

m³ +3m²+3m+1 -(m+1)= m³+3m²+2m.

Davon spaltest du den ursprünglichen Term m³-m als Summand ab:

m³+3m²+2m.=m³-m + (3 m²+3m)

Im Induktionsbeweis hast du dann den vorderen Summanden (blau), der laut Ind.-Voraussetzung durch 3 teilbar ist, und dann kommt eben noch der rote Summand dazu...