Hilfe bei diesem Beweis (Vollständige Induktion)

Question

Beweisen Sie:

\( \sum \limits_{i=2}^{n} \frac{2 i-3}{3^{i}}=\frac{1}{3}-\frac{n}{3^{n}} \)

Answer 1

Induktionsanfang kriegst du sicher selbst hin. Induktionsschritt:

$$ \sum_{i=2}^{n+1} \frac{2i-3}{3^i} = \sum_{i=2}^{n} \frac{2i-3}{3^i} + \frac{2(n+1)-3}{3^{n+1}} \overset{\text{I.V.}}{\underset{\text{}}{=}} \frac{1}{3} - \frac{n}{3^n} + \frac{2(n+1)-3}{3^{n+1}} \\ = \frac{1}{3} - \frac{3n}{3^{n+1}} + \frac{2n+2-3}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{-3n + 2n - 1}{3^{n+1}} \\ = \frac{1}{3} + \frac{-n - 1}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} - \frac{n + 1}{3^{n+1}}$$