Beweisen Sie:
∑i=2n2i−33i=13−n3n \sum \limits_{i=2}^{n} \frac{2 i-3}{3^{i}}=\frac{1}{3}-\frac{n}{3^{n}} i=2∑n3i2i−3=31−3nn
Induktionsanfang kriegst du sicher selbst hin. Induktionsschritt: ∑i=2n+12i−33i=∑i=2n2i−33i+2(n+1)−33n+1=I.V.13−n3n+2(n+1)−33n+1=13−3n3n+1+2n+2−33n+1=13+−3n+2n−13n+1=13+−n−13n+1=13−n+13n+1 \sum_{i=2}^{n+1} \frac{2i-3}{3^i} = \sum_{i=2}^{n} \frac{2i-3}{3^i} + \frac{2(n+1)-3}{3^{n+1}} \overset{\text{I.V.}}{\underset{\text{}}{=}} \frac{1}{3} - \frac{n}{3^n} + \frac{2(n+1)-3}{3^{n+1}} \\ = \frac{1}{3} - \frac{3n}{3^{n+1}} + \frac{2n+2-3}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{-3n + 2n - 1}{3^{n+1}} \\ = \frac{1}{3} + \frac{-n - 1}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} - \frac{n + 1}{3^{n+1}}i=2∑n+13i2i−3=i=2∑n3i2i−3+3n+12(n+1)−3=I.V.31−3nn+3n+12(n+1)−3=31−3n+13n+3n+12n+2−3=31+3n+1−3n+2n−1=31+3n+1−n−1=31−3n+1n+1
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