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i=2n2i33i=13n3n \sum \limits_{i=2}^{n} \frac{2 i-3}{3^{i}}=\frac{1}{3}-\frac{n}{3^{n}}

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Induktionsanfang kriegst du sicher selbst hin. Induktionsschritt:

i=2n+12i33i=i=2n2i33i+2(n+1)33n+1=I.V.13n3n+2(n+1)33n+1=133n3n+1+2n+233n+1=13+3n+2n13n+1=13+n13n+1=13n+13n+1 \sum_{i=2}^{n+1} \frac{2i-3}{3^i} = \sum_{i=2}^{n} \frac{2i-3}{3^i} + \frac{2(n+1)-3}{3^{n+1}} \overset{\text{I.V.}}{\underset{\text{}}{=}} \frac{1}{3} - \frac{n}{3^n} + \frac{2(n+1)-3}{3^{n+1}} \\ = \frac{1}{3} - \frac{3n}{3^{n+1}} + \frac{2n+2-3}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{-3n + 2n - 1}{3^{n+1}} \\ = \frac{1}{3} + \frac{-n - 1}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} - \frac{n + 1}{3^{n+1}}

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