Brauche Hilfe den Limes unter Verwendung der Grenzwertdefinition zu bestimmen

Question

Guten Tag ich muss in folgender Aufgabe zeigen dass der der Limes 1 ist unter verwendung der Grenzwertdefinition.

Ich komme ab eine  gewissen punkt nicht weiter und brauche Hifle:

$$\text{Sei } a_{k} :=\frac{k^2-1}{k^2+1} \text{für } k  \in \mathbb{N} \\\text{Zeigen , dass }\lim\limits_{x\to\infty} a_k = 1 \text{ indem Sie nachweisen, dass zu jedem  ε > 0 ein } n_0 \in \mathbb{N} \text{ mit } \vert a_k-1\vert <ε \text{ für alle }  k\geq n_0 \text{ existiert .}$$

Mein lösungsweg:
$$\vert a_k-1\vert <ε  \Longrightarrow  \frac{k^2-1}{k^2+1}-1 <ε \\ \Longrightarrow \frac{k^2-1-(k^2+1)}{k^2+1}<ε \Longrightarrow \frac{-2}{k^2+1}<ε \\\Longrightarrow -2<ε*(k^2+1)\Longrightarrow \frac{-2}{ε}< k^2+1 \\\Longrightarrow\sqrt{\frac{-2}{ε}-1}< k \\\text{ Was muss ich weiter machen, bzw. wie entnehme ich jetzt den lim=1 hier raus?}$$

Answer 1

Vermutung: \(g=1\) ist Grenzwert der Folge \(\{a_n\}\). Du darfst großzügig abschätzen (Beträge aber nicht vergessen), z.B. so: Sei \(\varepsilon>0\) beliebig vorgegeben. Wähle \(N\in\mathbb N\) so groß, dass \(N>\frac1\varepsilon\) ist. Dann gilt für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n>N\):$$\vert a_n-g\vert=\left\vert\frac{n^2-1}{n^2+1}-1\right\vert=\frac2{n^2+1}<\frac1n<\frac1N<\varepsilon.$$Damit ist die Vermutung unter Verwendung der Grenzwertdefinition gezeigt.