Sei R ein Ring in einer Menge und phi eine endlich-additive Mengenfunktion. Zeigen Sie:

Question

Leider habe ich keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll.

Answer 1

Zuerst b):

A Teilmenge von B, dann ist B = A U B\A eine disjunkte Vereinigung. Endliche Additivität:

$$\mu(B) = \mu(A) + \mu(B\backslash A) \ge \mu(A)$$

a) Aus $\emptyset \cap \emptyset = \emptyset$ folgt, dass die Vereinigung $\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$ disjunkt ist. Endliche Additivität impliziert

$$\varphi(\emptyset) = \varphi(\emptyset \cup \emptyset) = \varphi(\emptyset)+\varphi(\emptyset)$$

subtrahiere jetzt auf beiden Seiten $\varphi(\emptyset)$, das geht da der Fall $\varphi(\emptyset) =\infty$ ausgeschlossen werden kann (warum?), erhalte

$$\varphi(\emptyset) =0$$