Question

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist und berechnen Sie den Flächeninhalt

A(2/1/1) , B(5/2/3) , C(3/0/0)

Habe eine lange Zeit gefehlt und Stoff verpasst. Kann mir das jemand erklären ? VG

Answer 1

Kannst du zunächst die Richtungsvektoren der Dreiecksseiten aufstellen?

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AB

BC

AC

oder ?

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Ja genau.

Und dann prüfst du ob zwei Richtungsvektoren orthogonal sind, d.h. das ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

Schaffst du das? Willst du es mal probieren?

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Meinst du z.b

Vektor AB = 5/2/3- 2/1/1 das Ergebnis davon und das Ergebnis von Vektor

BC 
Beide dann * rechen ?

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Genau. Das schaffst du oder?

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Ja ,aber wie soll ich  den Flächeninhalt berechnen ?

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Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b berechnet sich der Flächeninhalt aus

A = 1/2 * a * b

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habe -11 raus als ich gucken wollte ob es rechtwinklig ist

Answer 2

Die Idee mit dem Skalarprodukt ist zwar für die Rechtwinkligkeit vernünftig, aber du sollst ja auch noch den Flächeninhalt berechnen und benötigst spätestens dann Seitenlängen.

Ich schlage deshalb als Alternative vor, zunächst die Beträge der Vektoren AB, AC und BC (und damit die Seitenlängen selbst) zu berechnen. Das Dreieck ist rechtwinklig, wenn das Quadrat der größten Seitenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlängen ist (Umkehrung Pythagoras).

Mit den beiden Kathetenlängen hat man dann leicht auch die Fläche berechnet.

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Wie ? Also für AB habe ich dann 3/1/2 raus  das mache ich dann für AC und BC. Was soll ich danach machen ?

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" Also für AB habe ich dann 3/1/2 raus"

Der Betrag des Vektors AB ist dann  $$\sqrt{3²+1²+2²}=\sqrt{\cdots}$$.

Berechne so auch die beiden anderen Beträge. 
(Sollten einige Koordinaten der anderen beiden Vektoren negativ sein: Das Quadrat einer negativen Zahl ist auch positiv.)

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Und was soll ich danach machen wenn ich die beiden anderen beträge habe ?

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Meine Antwort nochmal lesen. Da steht genau, was du mit den 3 Streckenlängen machen sollst, wenn du sie hast.