Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes C so, dass das Dreieck ABC mit A(1/1) und B(4/5) rechtwinklig und …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes C so, dass das Dreieck ABC mit A(1/1) und B(4/5) rechtwinklig und gleichschenklig ist.

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mit jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen. Ich seit längerem dran und weiß einfach nicht wie ich das lösen kann. Ich habe versucht zuerst die Bedingung, dass es gleichschenklig sein soll hergestellt also dachte mir dass AB = AC

Und habe die Längen ausgerechnet und weil jezt nicht wie ich weiter gehen soll. Ich habe viel Unterrichtsstoff in letzter Zeit verpasst und ich hab nur einen Tipp von meinem Lehrer bekommen und er meinte ich soll mir dazu den Skalarprodukt anschauen und damit die Aufgabe lösen, aber das Problem ist, dass ich gar nicht die schritte kenne die ich gehen muss. Ich bin echt verzweifelt und ich wäre echt dankbar wenn mir jemand die schritte erklären können.

Zudem habe ich noch die lösungen von anderen angeguckt im Internet aber ich verstehe die VORGEHENSWEISE nicht, deshalb braucht gar nicht hier schicken.

Viel Dank schonmal für alle Antworten ⚘

Answer 1

"Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes C so, dass das Dreieck ABC mit \(A(1|1)\) und \(B(4|5)\) rechtwinklig und gleichschenklig ist."

Geradengleichung durch A und B:

Allgemein : \(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

\(\frac{y-1}{x-1}=\frac{5-1}{4-1}=\frac{4}{3}\)

Aufgelöst nach y:

\(y=\frac{4}{3}*x-\frac{1}{3}\)     Die orthogonale Steigung beträgt: \(m=-\frac{3}{4}\)

Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke (c) zwischen A und B:

\(M(\frac{1+4}{2}| \frac{1+5}{2})\)→ \(M(2,5| 3)\)

Länge der Strecke A B: \( c= \sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 \)

Der Radius des Kreises (Thaleskreis) um M ist \(r=2,5\)

Allgemeine Kreisformel: \( (x-x_M)^2+(y-y_m)^2=r^2\)

\( (x-2,5)^2+(y-3)^2=6,25\)

Die orthogonale Gerade durch M:

Allgemeine Punkt-Steigungsformel einer Geraden:

\(\frac{y-y_1}{x-x_1}=m\)

\(\frac{y-3}{x-2,5}=-\frac{3}{4}\)

Aufgelöst nach y: \(y=-\frac{3}{4}*x+4,88\)

Diese Gerade schneidet nun den Thales Kreis in C.

\( (x-2,5)^2+(-\frac{3}{4}*x+4,88-3)^2=6,25\)

...

\(C(0,5|4,5)\)

Da die Punkte A, B und C entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn angeordnet sind, entfällt der 2. Punkt C.

Answer 2

Der Punkt \(C\) habe die Koordinaten \((x_C,y_C)\).

Damit das Dreieck einen rechten Winkel bei \(C\) hat, muss

        \(\vec{CA}*\vec{CB} = 0\)

sein, wobei \(*\) das Skalarprodukt ist.

Damit das Dreieck gleichschennklig mit Basis \(AB\) ist, muss

      \(\left|\vec{CA}\right| = \left|\vec{CB}\right|\)

sein.

Löse das Gleichungssystem.

Answer 3

Hallo,

erst einmal ein Bild.

Gesucht sind die Punkte, die hier mit D und E bezeichnet sind.

Zunächst brauchst du den Mittelpunkt M(2,5|3). Ich hoffe du kannst ihn berechnen.

Dann benötigst du den Abstand AM, der im Bild dem Radius 2,5 des Kreises entspricht.

Jetzt fehlt noch ein Vektor, der senkrecht zu AB steht. Den müssen wir auf die Länge 2,5 zurechtstutzen und zu OM addieren bzw. subtrahieren.

:-)

PS:

Du kannst gerne nachfragen.

Answer 4

Da es sechs Möglichkeiten gibt, den rechten Winkel zu plazieren, gibt es auch sechs mögliche Punkte C.

Um nun ein wenig Vektorrechnung zu betreiben, vereinbaren wir zunächst $$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$ und $$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix} 4\\5 \end{pmatrix}$$für die beiden Punkte \(A\) und \(B\). Zu $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}$$ ist dann $$ \overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} -4\\3 \end{pmatrix}$$ ein orthogonaler Vektor. Damit lassen sich leicht die ersten vier Lösungen ausrechnen: $$ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 5\\-2 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 0\\8 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 8\\2 \end{pmatrix} $$ Die beiden anderen Lösungen ergeben sich durch $$ \overrightarrow{c}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{v}\right)=\begin{pmatrix} 1/2\\9/2 \end{pmatrix}  $$ und $$ \overrightarrow{c}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{v}\right)=\begin{pmatrix} 9/2\\3/2 \end{pmatrix}. $$ (fehlendes Minus in der zweiten Lösung nachgetragen)