Nachweis, ob ein Dreieck ABC rechtwinklig in C ist

Question

Hallo :-). Ich habe versucht, die folgende Aufgabe zu lösen. Allerdings komme ich immer auf das falsche Ergebnis.

Die Aufgabe lautet: Der griechische Mathematiker Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren. Ihm zu Ehren steht auf der Hafenmole der nach ihm benannten Stadt Pythagorio auf Samos ein Denkmal. Das aus Stein gefertigte Dreieck hat bezüglich eines Koordinatensystems die Eckpunkt A (10|2,5|0), B (-0,5|2|24) und C (0|0|0) (Angaben in dm).

a.) Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC rechtwinklig in C ist.

Auf hilfreiche Antworten würde ich mich sehr freuen.

L.G.

Answer 1

CA = [10, 2.5, 0]

CB = [-0.5, 2, 24]

CA * CB = 0

Da das Skalarprodukt der Vektoren 0 ist stehen die Vektoren der Seiten senkrecht aufeinander.

Comments

Eine Andere Möglichkeit wäre die 3 Seitenlängen zu bestimmen und zu schauen ob der Satz von Pythagoras gilt.

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Dann wird allerdings der Kehrsatz zum Satz von Pythagoras angewendet, weil der Satz v.P.  - unverständlicherweise - nur in eine Richtung formuliert ist.

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Eigentlich finde ich es unsinnig hier vom Kehrsatz zu sprechen. Das ist ja eigentlich kein eigenständiger Satz. Eigentlich ist es nur die Umkehrung vom Satz von Pythagoras.

Und ich denke es ist nicht falsch wenn ich sage das man prüft ob der Pythagoras gilt. Denn was ich dadurch beschreibe ist die Umkehrung.

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Bei mir geht leider die Berechnung mit dem Pythagoras nicht ganz auf. Ich weiß nicht, was ich falsch gemacht habe.

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|CA| = √(10^2 + 2.5^2 + 0^2) = 5·√17/2

|CB| = √(0.5^2 + 2^2 + 24^2) = √2321/2

|AB| = |[-10.5, -0.5, 24]| = √(10.5^2 + 0.5^2 + 24^2) = √2746/2

(5·√17/2)^2 + (√2321/2)^2 = (√2746/2)^2

106.25 + 580.25 = 686.5

Ich denke das Stimmt. Bist du anderer Ansicht?

Wenn es bei dir nicht ganz aufgeht, rechnest du vermutlich mit gerundeten und nicht exakten Werten. Das wäre hier der typische Fehler den leider viele Schüler machen :(

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@MC:

> ... schauen ob der Satz von Pythagoras gilt.

Das klingt halt etwas seltsam, denn wer zweifelt daran? :-)

Aber natürlich weiß jeder, wie es gemeint ist.

Answer 2

Bilde mal die Vektoren CA und CB die sind (als Zeile geschrieben)

(10|  2,5 | 0 ) und   (-0,5|2|24)

Deren Skalarprodukt ist

(10|  2,5 | 0 ) *   (-0,5|2|24) = -5 + 5 + 0 = 0

also stehen sie senkrecht aufeinander.