Im Fall n=2 könen wir die beteiligten Mengen disjunkt zerlegen
A=(A∩B)∪(A∖B),B=(A∩B)∪(B∖A)
und berechnen
P(A∪B)=P(A∩B)+P(A∖B)+P(B∖A)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Nun gelte für ein n≥2 die Formel für beliebige Mengen. D.h.
P(i=1⋃nAi)=(r,I)∑(−1)r+1P(M(I)) mit r=1,…,n,I⊂{1,…n},∣I∣≤r,M(I) : =j∈I⋂Aj
(Ich habe es umformuliert, weil mir das so einfacher erscheint.)
Für die Induktionsbehauptung verwenden wir zunächst die Formel für n=2, dann die Induktionsvoraussetzung:
P(i=1⋃n+1Ai)=P(i=1⋃nAi)+P(An+1)−P((i=1⋃nAi)∩An+1)=(r,I)∑(−1)r+1P(M(I))+P(An+1)−P((i=1⋃nAi)∩An+1)
Im Hinblick auf die Induktionsbehauptung liefert dieser Term zunächst für r=1 zusammen mit dem einzelnen Summanden:
BEITRAG 1i=1∑n+1P(Ai)
Die weiteren Terme der ersten Summe notieren wir als
BEITRAG 2(r,I)∑(−1)r+1P(M(I)), mit r=2,…n,I⊂{1,…n+1},n+1∈/I,∣I∣≤r
Für den dritten Term benutzen wir nochmal die Induktionsvoraussetzung:
−P((i=1⋃nAi)∩An+1)=−P(i=1⋃n(Ai∩An+1))=(r,I)∑(−1)rP(j∈I⋂(Aj∩An+1)) mit r=1,…,n,I⊂{1,…n},∣I∣≤r
Dies ist aber
BEITRAG 3(r,I)∑(−1)r+1P(M(I)) mit r=2,…,n+1,I⊂{1,…,n+1},n+1∈I,∣I∣≤r
Die drei Beiträge zusammen liefern die Behauptung.