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folgende Aufgabe:

Ich muss nun für A1, . . . , An ∈ A mit vollständiger Induktion zeigen, dass:

Text erkannt:

P(i=1nAi)=r=1n(1)r+11i1<<irnP(j=1rAij) \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\sum \limits_{r=1}^{n}(-1)^{r+1} \sum \limits_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{r} \leq n} \mathbb{P}\left(\bigcap_{j=1}^{r} A_{i_{j}}\right) .

gilt.


Ich finde leider meinen Ansatz nicht und würde mich über jede Hilfe freuen.


BG

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Im Fall n=2 könen wir die beteiligten Mengen disjunkt zerlegen

A=(AB)(AB),B=(AB)(BA)A=(A \cap B) \cup (A \setminus B), \quad B=(A \cap B) \cup (B \setminus A)

und berechnen

P(AB)=P(AB)+P(AB)+P(BA)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B)=P(A \cap B) + P(A \setminus B)+P(B \setminus A)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

Nun gelte für ein n2n\geq 2 die Formel für beliebige Mengen. D.h.

P(i=1nAi)=(r,I)(1)r+1P(M(I)) mit r=1,,n,I{1,n},Ir,M(I) : =jIAjP(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{(r,I)}(-1)^{r+1}P(M(I))\\ \text{ mit } r=1, \ldots,n, I \sub\{1, \ldots n\},|I|\leq r, M(I):=\bigcap_{j \in I}A_j

(Ich habe es umformuliert, weil mir das so einfacher erscheint.)

Für die Induktionsbehauptung verwenden wir zunächst die Formel für n=2, dann die Induktionsvoraussetzung:

P(i=1n+1Ai)=P(i=1nAi)+P(An+1)P((i=1nAi)An+1)=(r,I)(1)r+1P(M(I))+P(An+1)P((i=1nAi)An+1)P(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i)=P(\bigcup_{i=1}^nA_i)+P(A_{n+1})-P((\bigcup_{i=1}^nA_i) \cap A_{n+1})\\\quad =\sum_{(r,I)}(-1)^{r+1}P(M(I))+P(A_{n+1})-P((\bigcup_{i=1}^nA_i) \cap A_{n+1})

Im Hinblick auf die Induktionsbehauptung liefert dieser Term zunächst für r=1 zusammen mit dem einzelnen Summanden:

BEITRAG 1i=1n+1P(Ai)\text{BEITRAG 1}\quad \sum_{i=1}^{n+1}P(A_i)

Die weiteren Terme der ersten Summe notieren wir als

BEITRAG 2(r,I)(1)r+1P(M(I)), mit r=2,n,I{1,n+1},n+1I,Ir\text{BEITRAG 2}\quad \sum_{(r,I)}(-1)^{r+1}P(M(I)), \text{ mit } r=2, \ldots n, I \sub \{1,\ldots n+1\},n+1 \notin I,|I|\leq r

Für den dritten Term benutzen wir nochmal die Induktionsvoraussetzung:

P((i=1nAi)An+1)=P(i=1n(AiAn+1))=(r,I)(1)rP(jI(AjAn+1)) mit r=1,,n,I{1,n},Ir-P((\bigcup_{i=1}^nA_i) \cap A_{n+1})=-P(\bigcup_{i=1}^n(A_i \cap A_{n+1})) \\ \quad=\sum_{(r,I)}(-1)^rP(\bigcap_{j \in I}(A_j \cap A_{n+1}))\text{ mit } r=1, \ldots,n, I \sub\{1, \ldots n\},|I|\leq r

Dies ist aber

BEITRAG 3(r,I)(1)r+1P(M(I)) mit r=2,,n+1,I{1,,n+1},n+1I,Ir\text{BEITRAG 3}\quad \sum_{(r,I)}(-1)^{r+1}P(M(I)) \text{ mit }r=2,\ldots,n+1, I \sub \{1, \ldots , n+1\},n+1 \in I,|I|\leq r

Die drei Beiträge zusammen liefern die Behauptung.

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