Matrix-Beweis per Induktion über m

Question

Aufgabe:

Beweis für A^k · A^m = A^k+m per Induktion über m.

Matrizen A,B ∈ ℝ^n×n für beliebiges n ∈ ℕ \ {0}.

Gegeben:

A⁰ := I (Einheitsmatrix)

A^m+1 := A^m * A

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz wie ich das lösen soll. Ich gehe mal davon aus das "Induktion über m" das selbe ist wie "vollständige Induktion über m", also:

1. Induktionsanfang: Was setze ich hier null? m? die Matrix?

.......

Vielen Dank für jede Antwort!

Answer 1

In der Aufgabe steht "Induktion über m", also muss im IA m=0 gesetzt werden. Das k ist sozusagen "fix".

Im Induktionsschritt setzt du voraus, dass für eine "konkrete" Zahl m die Gleichung A^k * A^m = A^k+m   gilt, und du musst die entsprechende Gleichung für (m+1) statt m zeigen. Das macht man auf dem mehr oder weniger üblichen Weg, hier etwa so: Wende im ersten Schritt die Definition für A^m+1 an,  wende dann das Assoziativgesetz an, benutze dann die IV, und wende dann nochmals die Definition an, und zwar für A^(k+m)+1 "von rechts nach links gelesen".