Beweis per Induktion obwohl eine Fakultät auftritt?

Question

Ich versuche gerade eine Taylorreihe aufzustellen. Dafür muss ich ja die n-te Ableitung beweisen.
Meine Vermutung ist (diese ist übrigens richtig) $$f^{(n)}=\frac{(n-1)!}{2^{n}}$$

Mein Ansatz sieht wie folgt aus

$$f^{(n+1)}=[f^{(n)}]'=[\frac{(n-1)!}{2^{n}}]'=?$$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+(n-1)!

Ich denke mal, dass wolfram hier von n Element R ausgeht, wobei es bei mir ja n Element N sein müsste. Außerdem kann ich mit der Gammafunktion noch nichts anfangen.

Kann mir hier irgendjemand helfen?

Answer 1

Die Fakultät lässt sich bei den natürlichen nicht ableiten!!!

Das Ableiten ist erst durch die reellen Zahlen möglich geworden, die Änderungsrate in einem Punkt zu beschreiben. Bei den natürlichen Zahlen kannst du höchstens eine Änderung ausmachen, also wie stark nach n Schritten etwas schwankt, aber mehr auch nicht.

Und wenn du Fakultät auf ℝ betrachtest wirst du nicht um die Gammafunktiuon rumkommen! Oder nimm die Stirlingsche Näherungsformel, die die Fakultät auch auf ℝ annähert. https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel

Comments

Dann ist mein Ansatz wohl einfach falsch. Kann man das ganze aber dann überhaupt per Induktion beweisen?

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Das Problem hat sich geklärt. Es wird ja gar nicht nach n abgeleitet, sondern nach x. Aber