1. Es sei \( U \subseteq \mathbb{R}^{n} \) offen und es sei \( w \in C^{1}(U) \) ein Vektorfeld, so dass
$$ \int \limits_{\partial G}\langle w, \nu\rangle \mathrm{d} \sigma= 0 $$
für alle \( C^{1} \) -Polyeder \( G \) mit \( \bar{G} \subset U . \) Zeigen Sie, dass div \( w=0 \)
Ein solches Vektorfeld nennt man quellenfrei.
2. { Zeigen Sie den Gaußschen Integralsatz für ein Rechteck } R=] a, b[\times] c, d[\subset \) \( \mathbb{R}^{2}, \) indem Sie die iterierten Integrale direkt ausführen.
3. Bestimmen Sie für jedes \( n \in \mathbb{N} \) die Oberfläche der \( S^{n} \).
Hinweis: Verwenden Sie die Volumenformel.
4. Es sei \( G \subset \mathbb{R}^{3} \) ein \( C^{1} \) -Polyeder. Für \( a \in \mathbb{R}^{3} \backslash \partial G \) definieren wir ein Vektorfeld
$$ \begin{aligned} E_{a}: \mathbb{R}^{3} \backslash\{a\} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \text { durch } \\ & E_{a}(x)=\frac{x-a}{\|x-a\|_{2}^{3}} \end{aligned} $$
Zeigen Sie \( \int \limits_{\partial G}\left\langle E_{a}, \nu\right\rangle \mathrm{d} \lambda_{3}=\left\{\begin{array}{ll}{0,} & {a \notin \bar{G}} \\ {4 \pi,} & {a \in G}\end{array}\right. \)
Hinweis: Im Fall \( a \in G \) ist der Gaußsche Integralsatz nicht auf \( G \) anwendbar, sondern nur auf \( G_{r}:=G \backslash \bar{B}_{r}(a), \) wobei \( r>0 \) hinreichend klein ist.
