Beweis über Vollständige Induktion

Question

ich hab mal eine Frage zu einer vollständigen Induktion, an der ich mich gerade versuche. Leider kann ich hier keinen kompletten TeX-Satz hochladen, deshalb hier ein externer Link:

http://mathb.in/49428?key=391736fc2887bcd6c7ce9310f2693d2ee625dcee

Ich frage mich jetzt, ob die Induktion so stimmt. Ich selbst bin Informatiker und diese Beweise fallen mir sichtlich schwer. Die Gaußsche Summenformel dürfen wir verwenden, ohne sie näher zu erkläutern bzw. zu beweisen. Es wäre echt lieb, wenn da mal jemand kurz ein Auge drauf werfen könnte und das entweder so "abwinken" kann oder mir noch ein paar Hinweise gibt, die ich dann hoffentlich verstehe und auch umsetzen kann.

VG Max

P.S.: Im Übrigen zähle ich hier jetzt 0 zu den natürlichen Zahlen. In meiner Ausarbeitung schreibe ich n ∈ ℕ_0.

Answer 1

Ich würde den Induktionsschritt etwas einfacher gestalten:
$$ \sum_{i=0}^{n+1}i*(n+1-i)= \sum_{i=0}^{n}i*(n+1-i)+(n+1)*0 $$
$$= \sum_{i=0}^{n}i*(n+1-i)= \sum_{i=0}^{n}i*n+i-i^2$$
$$= \sum_{i=0}^{n}i*n-i^2+i=   \sum_{i=0}^{n}i*(n-i)+ \sum_{i=0}^{n}i $$
und dann Ind. vor. und Gauss-Formel
$$ \frac { n*(n-1)*(n+1)}{ 6 }  +  \frac   { n*(n+1)}{ 2 }   $$
$$= n*(n+1)*(\frac { n-1}{ 6 }  +  \frac   { 1}{ 2 } )  $$
$$= n*(n+1)*(\frac { n-1}{ 6 }  +  \frac   { 3}{ 6 } )  $$
$$= n*(n+1)*(\frac { n-1}{ 6 }  +  \frac   { 3}{ 6 } )  $$
$$= n*(n+1)*\frac { n+2}{ 6 }  $$
$$= \frac {n*(n+1)(n+2)}{ 6 }  $$
und das ist genau das Ergebnis, was die rechte Seite der
Formel für n+1 statt n auch liefern würde.
q.e.d.

Comments

Stimmt, das spart einiges. Aber vom Großen und Ganzen her war das ja dann schon in Ordnung. Dann geh ich jetzt erstmal schlafen, nachdem ich mir Stunden den Kopf zerbrochen hab.