Ableiten. ft(x)=xe^tx

Question

Ich war leider im Unterricht nicht anwesend und da haben wir diese Funktion aufbekommen.Wir sollen damit eine ganze Funktionsermittlung durchführen.Mein Problem ist ich komme gar nicht weiter weil ich das nicht ableiten kann. Ich hoffe das mir jemand helfen kann .

Funktion : ft(x)=xe^tx

Answer 1

Kettenregel: f(x) = u(v(x)) ⇒ f'(x) = u'(v(x))·v'(x).

Produktregel: f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f'(x) = g'(x)·h(x) + h'(x)·g(x).

Ableitung der Exponentialfunktion: f(x) = e^x ⇒ f'(x) = e^x.

f_t(x)=xe^tx

Das ist ein Produkt aus den Faktoren

(1)        g(x) = x

und

(2)        h(x) = e^tx.

Also muss die Produkregel angewendet werden. Laut obiger Formel benötigt man dazu g'(x) und h'(x).

(3)        g'(x) = 1.

h(x) = e^tx ist eine Verkettung von Funktionen.

(4)        v(x) = tx

(5)        u(v) = e^v

Also muss die Kettenregel angewendet werden. Laut obiger Formel benötigt man dazu v'(x) und u'(v(x)).

(6)        v'(x) = t

(7)        u'(v) = e^v.

Einsetzen von (4) in (7) liefert

(8)        u'(v(x)) = e^tx .

Einsetzen von (6) und (8) in die Kettenregel liefert

(9)        h'(x) = te^tx.

Einsetzen von (1), (2), (3) und (9) in die Produktregel liefert

        f_t'(x) = 1·e^tx + te^tx·x.

Klammert man jetzt e^tx aus, so bekommt man

        f_t'(x) = (1 + tx)e^tx.

Comments

Ist das richtig ?

U=e^tx         U‘=e^t

V=1+tx.        V‘=t

ft“(x)=e^t•(1+tx) +e^tx•(t)

Wie Klammer ich das aus?

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U=e^tx

Die Ableitung davon wurde bereits berechnet. Das Ergebnis darfstr du wiederverwenden.

f_t“(x)=e^t•(1+tx) +e^tx•(t)

Passt so, bis auf die Tatsache, dass du e^tx falsch abgeleitet hast.

Wie Klammer ich das aus?

Das wirst du hoffentlich sehen, sobald du e^tx korrekt abgeleitet hast.