Wie loese ich diese Ungleichung nach n auf?

Question

es geht um folgende Ungleichung, die ich nach n aufloesen will:

$$\frac{9}{8}-a<\frac{n^2}{2^n}$$

Wolframalpha zumindest gibt mir nur numerische Werte aus. Ist das Loesen ueberhaupt moeglich?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve(%5Cfrac%7B9%7D%7B8%7D-a%3C%5Cfrac%7Bn%5E2%7D%7B2%5En%7D,n)

Comments

Es ist nur numerisch möglich.

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Ah das ist doof. Ich versuche naemlich gerade zu beweisen, dass 9/8 das Supremum von n^2/2^n ist.

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Dazu brauchst du den Zirkus nicht. Berechne das erste, zweite und dritte Folgenglied und zeige, dass die Folge ab dann garantiert kleinere Werte annimmt.. (Dass ab n=4 die Ungleichung 2ⁿ≥n² gilt ist ein Klassiker der Induktionsbeweise.)

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Hoert sich gut an.

Answer 1

Rechne doch mal den Hochpunkt aus

Der Extremwert ist 4·e^{-2}/LN(2)^2 = 1.126730642 also knapp über 9/8.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+n%5E2%2F2%5En

für n ∈ ℕ bestimme das n ab dem die Folgeglieder streng monoton fallend sind.