Beweis/Gegenbeispiel injektiv surjektiv bijektiv bei Verknüpfung von Abbildungen

Question

A,B,C nicht-leere Mengen und f: A --> B, g: B --> C Abbildungen.

Beweis bzw. Gegenbeispiel

(a) ist g o f surjektiv, so ist f surjektiv

(b) Ist f injektiv und g surjektiv, so ist g o f bijektiv

Bitte um Hilfestellung bzw. Lösungsansatz wie ich vorgehen kann.

Comments

            <p><strong>Vom Duplikat:</strong></p>
            <p>Titel: Wenn h°g°f und g°f°h surjektiv und f°h°g injektiv, dann sind f,g,h bijektiv.</p>
            <p>Stichworte: surjektiv,injektiv,bijektiv,verknüpfung</p>
        f : A  => B

g : B => C

h : C => A

Wenn h°g°f und g°f°h surjektiv und f°h°g injektiv, dann sind f,g,h bijektiv.

D.h. doch:
* h°g°f ist eine Abbildung von A => A

* g°f°h ist eine Abbildung von C => C

* f°h°g ist eine Abbildung von B => B

Und wie gehe ich jetzt weiter vor?

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Sind A, B und C nach Voraussetzung endlich oder hast du da keinerlei Angaben dazu?

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Dazu habe ich leider keine Angaben.

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Vom Duplikat:

Titel: Beweis zu Verkettung / Verknüpfung von bijektiven Abbildungen

Stichworte: abbildung,bijektiv,verkettung,verknüpfung

Hallo

Ich habe folgendes gegeben:

f ist eine Abbildung von X nach Y und h ist eine Abbildung von Y nach Z

h ° f ist durch h ° f(x) = h(f(x)) definiert und ist eine Abbildung von X nach Z

Ich soll nun folgendes zeigen:

1. Wenn f und h bijektiv sind, dann ist auch h ° f bijektiv

2. Wenn h ° f bijektiv ist dann ist h surjektiv und f injektiv

3. Wenn h ° f bijektiv ist, dann muss f nicht bijektiv sein und h auch nicht

Ich habe absolut keinen Ansatz wie ich das zeigen kann. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

Dankeschön

Answer 1

Für a) und b) funktioniert das gleiche Gegenbeispiel:

a)

gof : A → C   ist surjektiv, weil jedes Element von C  ein Urbild in A hat

                              aber  f ist nicht surjektiv, weil 4 kein Urbild in A hat

b)

f ist injektiv, weil verschiedene Elemente von A  verschiedene Bilder in B haben

g ist surjektiv,  weil jedes Element von C  ein Urbild in B hat

                             aber gof ist nicht injektiv (und damit nicht bijektiv),

                             weil 1 und 2 aus A  das gleiche Bild in C haben

Gruß Wolfgang