Zeigen, dass sin^3(x) = 1/4 (3 sin(x) - sin(3x)) für alle reellen Zahlen x

Question

kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen:

Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x gilt:

sin³(x) = \( \frac{1}{4} \) (3 sin(x) − sin(3x))

Ich habe folgenden Ansatz:

\( \frac{1}{2i} \) (exp(3ix)+3exp(2ix-ix)+3exp(ix-2ix)+exp(-3ix))

= \( \frac{1}{2i} \) (exp(3ix)+3exp(ix)+3exp(-ix)+exp(-3ix))

Danke

Answer 1

Ich mag es eher trigonometrisch.

Für z=cos(x)+i sin (x) gilt einerseits

z³=cos(3x)+i sin (3x), 

andererseits z³=cos³(x)+3cos²(x)*i sin(x)+3cos(x)* i²*sin²(x) + i³*sin³(x).

Der Vergleich der Real- und Imaginärteile beider Darstellungen führt beim Imaginärteil auf

sin(3x)=3cos²(x) sin(x) - sin³(x).

Ersetzt man nun noch cos²(x) durch 1-sin²(x), wird daraus

sin(3x)=3(1-sin²(x)) sin(x) - sin³(x)

sin(3x)=(3-3sin²(x)) sin(x) - sin³(x)

sin(3x)=3sin(x) -3sin³(x) - sin³(x)

sin(3x)=3sin(x) -4sin³(x) 

umgestellt

4sin³(x) =3sin(x) -sin(3x)

Answer 2

Es geht doch nur um reelle Zahlen.

Nimm mal das Additionstheorem  und den

Ansatz sin(2x) = sin(x+x) = ...

und zeige so (falls ihr das nicht schon hattet)

sin(2x) = 2*sin(x) *cos(x)

entsprechend  cos(2x) = 1- 2sin^2(x)

und dann nochmal Additionstheorem mit

sin(3x) = sin(2x+x) = sin(2x)*cos(x) + cos(2x) * sin(x)

                            = 2*sin(x) *cos(x) *cos(x) + ( 1-2sin^2(x) )*sin(x)

                           = 2*sin(x) * cos^2(x) + sin(x) -2 sin^3(x)

und ersetze cos^2(x) = 1 - sin^2(x) dann hast du

=    2*sin(x) (1- sin^2(x)) + sin(x) -2 sin^3(x)

=    2*sin(x)  - 2sin^3(x) + sin(x) - 2sin^3(x)

=    3*sin(x)  - 4sin^3(x) .

Und jetzt noch umstellen, dann wird aus sin(3x) =  3*sin(x)  - 4sin^3(x)

das Gewünschte.