a) nimm halt mal an es gäbe eine (vollständige) Abzählung der Folgen (fi)
Jetzt konstruieren wir uns eine neue Folge die nicht in dieser Abzählung liegen kann:
$$ g(i) := \begin{cases} 1,& f_i(i)=0\\ 0,&f_i(i)=1\end{cases}$$
g und f1 unterscheiden sich demnach mindestens im ersten Folgenglied, g und f2 mindestens im zweiten, usw.
Widerspruch, denn g ist eine Folge in {0,1} aber nicht Teil unserer Abzählung.
b) Betrachte
$$ P(\mathbb{N}) \to \{0,1\}^\mathbb{N}, A \mapsto f_A$$
mit
$$ f_A(i) := \begin{cases} 1,& i \in A\\ 0,&i\not\in A\end{cases}$$
