Bestimmen Sie die Menge G1 ∩ G2. G1 = (0, 3) + R(5, 0) und G2=(4,-3) + R(1,2) sind Geraden.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Menge \( G_{1} \cap G_{2} \) für die folgenden Geraden:

(a) \( G_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3\end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{l}5 \\ 0\end{array}\right) \) und \( G_{2}=\left(\begin{array}{c}4 \\ -3\end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right) \)

(b) \( G_{1}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -4\end{array}\right)+\mathbb{R}\left(\begin{array}{c}-8 \\ 16\end{array}\right) \) und \( G_{2}=\mathbb{R}\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2} \\ 1\end{array}\right) \)

Ansatz:

Eine Überlegung von mir war zuerst das gleichsetzen der beiden Geraden jeweils, aber dann bin ich nicht zurecht gekommen.

Answer 1

Gesucht ist hier die Schnittmenge bzw. der Schnittpunkt

[0, 3] + r * [5, 0] = [4, -3] + s * [1, 2]

0 + 5r = 4 + s
3 + 0r = -3 + 2s

Ich kann die zweite Gleichung unmittelbar nach s auflösen

3 + 0r = -3 + 2s
s = 3

Damit ist der Schnittpunkt

[4, -3] + 3 * [1, 2] = [7, 3]

Comments

[2, -4] + r * [-8, 16] = s * [-0.5, 1]

2 - 8r = -0.5s
-4 + 16r = s

Wir erkennen das die erste und zweite Gleichung linear abhängig sind. Damit ist ist G1 = G2 und das ist dann auch die Schnittmenge.

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Danke, für die Antwort.

Meine Vermutung mit dem gleichsetzen wurde bestätigt.

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Jetzt mal bitte für ganz dumme wie kommt man darauf R mit r und s auszutauschen? :/

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Naja. Ich weiß wie eine Geradengleichung aussieht. Diese Form mit dem ℝ kenne ich nicht. Aber ℝ ist halt das Symbol für die Menge der reellen Zahlen.

Also man setzt eine Menge an Zahlen ein und bekommt eine Menge an zahlen heraus. Und gesucht ist ja die Schnittmenge. Ich kann dafür dann aber rein den Schnittpunkt berechnen.