Volumenintegral III Kugel

Question

Ich hab gerade dem Kollegen Loviscach beim Integrieren zugeschaut und dann rumprobiert, welche Koordinatensysteme, Reihenfolgen und Grenzen eingesetzt werden können.

Da hab ich folgendes Integral zum Kugelvolumen aufgestellt

\(V_o(r)=\int\limits_{0}^{2 \; \pi }\int\limits_{0}^{r}\int\limits_{0}^{2 \; z}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta\)

etwa: radius 2 mal die z-Achse hochwandern lassen - wächst von 0 bis r - einmal rund rum. Erstaunlicherweise (für mich) kommt das Richtige raus und ich frage mich, ob meine Überlegung korrekt ist (das Integral eine Kugel beschreibt) oder nur "zufällig" (Cavalieri läßt grüßen?) ein korrektes Ergebnis entsteht.

Beim Rumstöbern ist mir diese Schreibweise noch nicht begegnet.

Comments

meinst du mit r

r^2=x^2 +y^2 ?

Nenne die obere Grenze im Integral besser H.

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Mit r meine ich einfach den Radius der Kugel, der Name sollte keine Rolle spielen, oder? Schrittweise

\(\int\limits_{0}^{2 \; z}r\,\mathrm{d}r =2 \; z^{2}\)

\(\int\limits_{0}^{r}\int\limits_{0}^{2 \; z}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z=\frac{2}{3} \; r^{3}\)

\(\int\limits_{0}^{2 \; \pi }\int\limits_{0}^{R}\int\limits_{0}^{2 \; z}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3} \; r^{3} \; \pi \)

Ich fange bei r an um auf eine räumliche Dimension zu kommen. Ich dachte aufgrund der 2z (als linearer Zusammenhang) würde sich ehr was kegeliges ergeben... 

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Anhand des Volumenelements  rdrdzdtheta

integriert du in Zylinder Koordinaten.

Dabei ist r=sqrt(x^2+y^2).

Das ist also kein Radius einer Kugel, sondern eines Kreises. Wenn du die obere Grenze benennst, ist das bei der z - Integration eine Konstante, die nennt man nicht so wie eine Integrationsvariable, da Verwechslungsgefahr. Hier eignet sich H, da man z immer als Höhenachse betrachtet. Das ganze Stellt einen Zylinder dar ( siehe Antwort). Dazu macht man eine Skizze, gesucht sind alle Punkte für die gilt:

phi in [0,2pi]

z in [0, H]

r in [0,2H]

Answer 1

dein Integral beschreibt einen Kegel mit Spitze im Ursprung, Höhe H und Radius der Grundfläche 2H. Daher kommt der Faktor 4 im Zähler.

Comments

Als ich oben den Kommentar abgeschickt habe, hat Deine Antwort geklingelt :-)

Ja, jetzt wo Du es sagst, das ergibt einen Sinn - ein spezieller Kegel, der zufällig das gleiche Volumen wie die eine Kugel hat.

Danke, für den Anschub