Aloha :)
$$I=\!\!\oiiint\limits_{\text{Einheitskugel}}\!\!\!(1+xyz)\,dV=\;?$$
Zunächst brauchen wir eine Parametrisierung der Einheitskugel. Für die Darstellung des Ortsvektors \(\vec r\), der das Kugelvolumen vollständig abtatstet, bieten sich Kugelkoordinaten an:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\sin\vartheta\cos\varphi\\r\sin\vartheta\sin\varphi\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$
Durch den Übergang zu Kugelkoordinaten wird das kartesische Volumenelemnt \(dV\) verzerrt:$$dV=dx\,dy\,dz=r^2\,\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi$$
Damit können wir das Integral konkretisieren:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(1+\underbrace{r\sin\vartheta\cos\varphi}_{=x}\cdot \underbrace{r\sin\vartheta\sin\varphi}_{=y}\cdot \underbrace{r\cos\vartheta}_{=z})\,\underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi}_{=dV}$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(1+r^3\sin^2\vartheta\cos\vartheta\sin\varphi\cos\varphi)\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi+\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^5\sin^3\vartheta\cos\vartheta\sin\varphi\cos\varphi\,dr\,d\vartheta\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1r^2\,dr\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\sin\vartheta\,d\vartheta\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi+\int\limits_{r=0}^1r^5\,dr\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\sin^3\vartheta\cos\vartheta\,d\vartheta\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^1\cdot\left[-\cos\vartheta\right]_{0}^\pi\cdot[\varphi]_{0}^{2\pi}+\left[\frac{r^6}{6}\right]_0^1\cdot\left[\frac14\sin^4\vartheta\right]_{0}^\pi\cdot\left[\frac12\sin^2\varphi\right]_{0}^{2\pi}$$$$\phantom{I}=\frac13\cdot2\cdot2\pi+\frac16\cdot0\cdot0=\frac43\,\pi$$
